Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf

12.24 (370). Из орудия береговой артиллерии с высоты Л= 30 м

над уровнем моря

произведен

выстрел под углом ао = 45° к гори-

зонту с начальной

скоростью

снаряда v<s== 1000 м/сек. Определить,

на каком расстоянии от орудия снаряд

попадет в цель, находящуюся на

уровне моря. Сопротивлением воздуха

пренебречь.

X=at, у=Щ — %-.

К задаче 12.24.

^

Ответ: wt = —

~

; wn

= ~, где v—скорость точки.

12.26 (373). Точка движется по винтовой линии согласно уравне-

ниям j*r=2cos4^ y =

2sin4t,

z =

2t, причем за единицу длины взят

Ответ:

r = aef

— логарифмическая спираль; v =

k ^

12.28. Движение точки задано

уравнениями

x=2t,

y = f

(t — в

секундах, х

и у — в сантиметрах).

Определить

величины и

направления

скорости и ускорения точки в момент времени £ = 1 сек.

Ответ: v=2V~2

см/сек; ВУ—2 см/сек*; (гГх)=45°, (щх) = 90°.

12.29. Построить

траекторию движения

точки, годограф скорости

и определить радиус кривизны траектории в начальный

момент, если

точка

движется согласно уравнениям

х — М,

y~t*

(t—в

секундах, х и у — в сантиметрах).

Ответ:

Уравнение траектории у = ^—кубическая парабола;годо-

4)

шв2

5+4 cos у.

12.31. В условиях

предыдущей задачи определить положение

Ответ:

1)

При t = 0 точка

М

будет

находиться в

крайнем

пра-

вом положении

на

расстоянии

2а

от точки О; скорость

v перпенди-

кулярна к

оси

х

и равна aw, ускорение

направлено

к точке

О и

3

2

равно -г- асо .

2) После

одного

оборота

кривошипа

точ-

С\

ка М будет

проходить

через

точку

О, г»= 0,

ускорение

направлено

к

точке

О-^

и

рав-

аш2

но -J-.

12.32. В

условиях

задачи

12.31

определить

радиус кривизны4кардиоиды при г = 2а, ф= 0.

Ответ:

р0 = -^- а.

12.33. Конец А стержня АВ

перемещается по

прямолинейной направляющей

CD с постоянной

скоростью vA. Стержень АВ

все время прохо-

В

дит через качающуюся

муфту

О, отстоящую от

К

задаче 12.33.

направляющей

CD

на

расстоянии

а. Приняв

точку О за

полюс, найти в

полярных

координатах

г,

ф скорость и

ускорение

точки М,

находящейся

на

линейке

на

расстоянии Ъ от

ползуна А.

12.34. Точка М движется

по винтовой линии. Уравнения

движе-

ния ее в цилиндрической

системе

координат

имеют вид

г ==а,

y = kt,

z=^vt.

i

Найти

проекции ускорения точки на осицилиндрической

системы

координат,

касательную

и

нормальную

составляющие

ускорения

и радиус кривизны винтовой линии.

Ответ:

1) wr

= — ak\ w9

= О,

wz

= 0;

2) wx = 0, wn —ak%,

6) P

aft2

'

12.35. Точка

M движется

по линии пересечения сферы

-£*-f-.y2-f-

x

2") -\-y*=-j.

Уравнения

движения

точки в сферических координатах

имеют

вид (см. задачу 10.22)

п

U

д

U

r = R, 9= ^-, в= т - .

Найти

проекции и модуль

ускорения

точки в сферических

коор-

динатах.

Ответ: wr =

j —(I -f- cos8

0),

w9 =

2~sin9,

ws = —-^sin8cose;

w = ££-YA-(-sin29. .

12.36.

Корабль

движется

под постоянным

курсовым

углом a

к географическому

меридиану,

описывая приэтом локсодромию (см

задачу 11.14). Считая, чтомодуль

скорости v корабля неизменяется,

определить

проекции ускорения

корабля на оси сферических

коор-

динат г, X и <р (X— долгота,

^ — широта

места плавания),

модуль

ускорения и радиус кривизны лок-

z

содромии.

-—

Ответ: wr = — -к-,

f

\

"W\=-—-^-sin a cos a tg 9,

/

"

tO^-^-l/l-j-sin^atg4^ ;

/

__

R

К задаче

12.37.

|/"l -)-sin2

atg2 cp'

где

R — радиус

Земли.

12.37. Выразить

декартовы

координаты

точки через

тороидаль-

ные координаты

г = СМ, § и <ри определить

коэффициенты Ляме.