ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1532
Скачиваний: 2
17.1. Уравнение Зинн-Жюстена |
111 |
ровочным полям и полям материи, которые в разделе 15.8 были коллективно обозначены jr. Поскольку Dn(x) квадратична по полям, когда cn — поле материи, калибровочное поле или wα, из соотноше-
ния (17.1.1) в общем случае не следует, что эффективное действие инвариантно относительно того же БРСТ преобразования, что и само действие.
Чтобы справиться с этим осложнением, воспользуемся приемом, который полезен при рассмотрении любого типа нильпотентных преобразований симметрии. Во-первых, введем набор с-число- вых внешних полей Kn(x) и определим новое эффективное действие
G[c, K] º W[Jχ,K , K] - z d4xcn (x)Jχ,K n (x) , |
(17.1.3) |
где связная амплитуда перехода вакуум–вакуум W вычисляется здесь с помощью действия в фиксированной калибровке *
I + òd4xDnKn:
X L |
|
O |
z |
|
|
z |
d4xcnJn i |
|
eiW[J,K] º Y M |
∏ dcn (x)P expdiI + i |
d4xDnKn |
+ i |
(17.1.4) |
||||
Y Mn,x |
P |
|
|
|
||||
Z N |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
à Jχ,K — ток, требуемый для того, чтобы придать полям средние значения c в присутствии внешних полей K:
dRW[J, K] |
º cn (x) . |
(17.1.5) |
dJn(x) |
J= Jχ,K |
|
|
|
(Ïîëÿ Kn должны иметь ту же фермионную или бозонную статистику, что и Dn, которая противоположна статистике cn.) Так как БРСТ преобразование нильпотентно, величины Dn(x) БРСТ инвариантны,
поэтому по аналогии с тем, как это было сделано в разделе 16.4, можно показать, что новое эффективное действие G[c, K] удовлет-
воряет условию БРСТ инвариантности:
* Здесь I есть действие INEW, модифицированное так, как описано в разделе 15.7, и зависящее от полей гостов и антигостов ωα è ω*α и вспомогательных полей hα. С этого момента мы отбрасываем пометку NEW.
112 |
Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий |
||||||||
X |
|
|
δ |
Γ[χ, K] |
|
|
|||
Y d4x Dn (x) |
|
|
L |
|
|
|
= 0 , |
(17.1.6) |
|
Jχ,K |
dc |
n |
x |
) |
|||||
Z |
|
|
|
( |
|
|
|
||
ãäå á...ñJ,K означает среднее по вакууму, вычисленное в присутствии
тока J и внешних полей K:
O [χ] J,K =
= |
z |
|
Õn,x dcn (x) |
|
O [c] expdiI + iz d4xDnKn + iz d4xcn Jn i |
.(17.1.7) |
||
|
|
|||||||
|
|
|||||||
|
|
z |
|
|
|
|||
|
|
Õn,x dcn (x) |
expdiI + iz d4xDnKn + iz d4xcn Jn i |
|||||
|
|
|
|
|||||
Удобно выразить среднее от Dn как вариационную производ-
ную эффективного действия. Беря правую вариационную производную от (17.1.3) по K, имеем:
d |
|
G[c, K] |
|
|
d |
|
W[J, K] |
|
|
|
|
|
X |
d |
|
W[J, K] |
|
|
dRJχ,K m |
(y) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
R |
= |
|
R |
|
|
|
|
|
+ Y d4 y |
R |
|
|
- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dKn (x) |
|
|
|
dKn (x) |
|
|
|
|
|
Y |
|
dJm (y) |
|
|
dKn (x) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
J= Jχ,K |
Z |
|
|
J= Jχ,K |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
d |
R |
Jχ |
,K m |
(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
- Y d4 ycm (y) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
dKn (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Используя (17.1.5), видим, что два последних слагаемых сокращаются, и с учетом определений (17.1.4) и (17.1.7) приходим к желаемому соотношению
dRG[c, K] |
|
dRW[J, K] |
|
|
n |
|
||
|
= |
|
|
|
|
= D |
(x) Jχ,K ,K . |
(17.1.8) |
dKn (x) |
dKn (x) |
|
J= J |
|||||
|
|
|
χ,K |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие БРСТ симметрии (17.1.6) может быть теперь переписано как простое условие, содержащее только эффективное действие:
X |
δ |
R |
Γ[χ, K] δ |
L |
Γ[χ, K] |
= 0 . |
|
||||
Y d4x |
|
|
|
|
|
|
|
(17.1.9) |
|||
|
dKn (x) |
dc |
n |
|
|||||||
Z |
|
|
(x) |
|
|
||||||
Это условие называется уравнением Зинн-Жюстена. Как было отмечено после формулы (15.9.3), взаимная перестановка полей и антиполей (или в данном случае cn è Kn) приводит лишь к изменению
знака в левой части (17.1.9), так что его можно записать как
17.2. Перенормировка. Непосредственный анализ |
113 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Γ, Γ) = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.1.10) |
|
где роль антиполей к полям cn в антискобке играют K : |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
X |
δ |
R |
F[χ, K] δ |
L |
G[χ, K] |
X |
δ |
R |
F[χ, K] δ |
L |
G[χ, K] |
|
||||||||
(F, G) º Y d4x |
|
|
|
|
|
|
|
- Y d4x |
|
|
|
|
|
|
|
.(17.1.11) |
||||
|
dc |
n |
(x) |
dKn (x) |
|
dKn (x) |
dc |
n |
(x) |
|||||||||||
Z |
|
|
Z |
|
|
|
||||||||||||||
Формально это уравнение совпадает с мастер-уравнением Батали- на–Вилковыского, которое мы обсуждали в разделе 15.9, но здесь оно возникает как условие на квантовое эффективное действие G[c,K], а не на фундаментальное действие S[c,c‡]. Мы используем уравне-
ние Зинн-Жюстена (17.1.10) в двух следующих разделах для того, чтобы показать, как перенормировать калибровочные теории, и в разделе 22.6 — для изучения аномалий в этих теориях.
17.2. Перенормировка. Непосредственный анализ
Простейшие неабелевы калибровочные теории перенормируемы в дайсоновском смысле, т. е. все операторы в лагранжиане имеют массовую размерность, равную четырем или меньше. Как мы видели в гл. 12, это гарантирует, что расходимости в квантовом эффективном действии возникают только в слагаемых, которые могут быть сокращены введением контрчленов во взаимодействие с размерностью четыре или меньше. Но перенормируемость включает и другие требования. Вид лагранжиана ограничен условиями калибровочной инвариантности и другими симметриями. Для того, чтобы теория была перенормируемой, необходимо, чтобы бесконечности в квантовом эффективном действии удовлетворяли тем же условиям с точностью до возможной перенормировки полей.2
Эффективное действие G[c,K] – сложный функционал c è K,
и условие симметрии (17.1.9) накладывает на него весьма сложные ограничения. К счастью, для расходящихся слагаемых в G дела обстоят значительно проще. Запишем действие S[c,K] º I[c] + òd4xDnKn как сумму слагаемого SR[c,K], в котором массы и константы связи равны своим перенормированным значениям, и поправки S∞[c,K],
содержащие контрчлены, с помощью которых мы собираемся сократить расходимости петлевых диаграмм. Как SR, òàê è S∞ ñëå-
дует выбрать так, чтобы они обладали симметриями исходного
114 |
Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий |
действия S[χ,K]. Вопрос состоит в том, обладают ли бесконечные части высших поправок к Γ обладать теми же самыми симметриями, так, чтобы их можно было сократить контрчленами в S∞.
Величину Γ можно разложить в ряд слагаемых ΓN, возникаю-
щих из диаграмм ровно c N петлями, и слагаемых от диаграмм с N– M петлями (1 ≤ M ≤ N), включая различные контрчлены в S∞[χ,K],
которые будут использоваться для сокращения бесконечностей в диаграммах с полным числом петель, равным M:
∞ |
|
Γ[χ, K] = å ΓN[χ, K] . |
(17.2.1) |
N=0
Тогда для каждого N условие симметрии (17.1.10) принимает вид *
∞ |
|
å(ΓN′ , ΓN−N′ ) = 0 . |
(17.2.2) |
N′ =0
В сумме (17.2.1) ведущее слагаемое равно Γ0[χ,K] = SR[χ,K], и оно, естественно, конечно. Предположим, что для всех M ≤ N – 1
все расходимости, возникающие из M-петлевых диаграмм, сократились контрчленами в S∞. Тогда в условии (17.2.2) бесконечности могут возникнуть только в слагаемых с N′ = 0 è N′ = N, которые равны друг другу, откуда следует, что расходящаяся часть ΓN,∞ èç ΓN подчинена условию
(SR, ΓN,∞ ) = 0 . |
(17.2.3) |
Это — принцип симметрии, порождаемый действием SR, аналогичный тому, который описывается формулами (15.9.16) и (15.9.17). Заметим,
* Такие рекуррентные (порядок за порядком) соотношения можно формально вывести, повторяя рассуждения из раздела 16.1. Если заменить действие SR íà g–1SR, то вклад связной L-петлевой диаграммы с I внутренними линиями и V вершинами умножается на gV–I = gL–1. Если связанные с N- петлевыми диаграммами контрчлены в S∞ также снабдить множителями gN, òî ΓL будет значением слагаемого в Γ порядка gL–1 при g = 1. Условие (17.2.2)
следует тогда из требования, чтобы равенство (17.1.10) было верным в каждом порядке по g. В системе единиц СГС действие имеет ту же размерность, что и $, поэтому в функциональном интеграле оно входит вместе с множителем 1/$, и для подсчета числа петель можно использовать $ вместо g.