Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

в частности, что преобразование X ¬ (SR,X) действует не только на поля cn, но и на внешние поля Kn.

До этого момента мы не использовали ни одного из специальных свойств перенормируемой теории Янга–Миллса. Заметим, однако, что согласно общим правилам подсчета индекса расходимости в перенормируемой теории, где все бесконечности сокращаются в поддиаграммах GN, бесконечная часть GN,∞[c,K] èç GN[c,K] ìî-

жет быть только суммой произведений полей (включая K) и их производных массовой размерностью четыре или меньше. Наконец, рассуждения из раздела 16.4 показывают, что G[c,K] и, следовательно, GN,∞[c,K] инвариантны относительно линейно реализован-

ных преобразований симметрии, относительно которых инвариантно действие. (Как объясняется ниже, такими преобразованиями являются: преобразования Лоренца, глобальные калибровочные преобразования, трансляции антигостов и фазовые преобразования гостов, отвечающие сохранению гостовского числа. Конечно, вспомогательным полям Kn нужно приписать определенные свойства относительно этих преобразований симметрии.) Эти условия вместе с (17.2.3) достаточны для того, чтобы знать все необходимое о струк-

òóðå GN,∞[c,K].

Чтобы применить эти условия, требуется знать размерности внешних полей Kn. Åñëè ïîëå cn имеет массовую размерность dn, òî Dn имеет размерность dn + 1 (это можно увидеть из анализа правил БРСТ преобразования (15.7.7)–(15.7.11)), и для того, чтобы òd4xKnDn

был безразмерен, поле Kn должно иметь размерность 3 – dn. Âñå ïîëÿ Aαμ, wα, w*α имеют размерности dn = +1, так что соответству-

þùèå Kn имеют размерность +2. (Мы не вводим никакого внешнего поля, соответсвующего hα, так как это поле БРСТ инвариантно.) Все поля материи yl спина 1/2 имеют размерность 3/2, так что

соответствующие Kn должны иметь ту же размерность 3/2. Соответственно величина типа GN,∞[c,K] размерности четыре может быть

не более чем квадратична по любому из полей Kn. Кроме того, слагаемые второго порядка по Kn не могут содержать никаких других полей, за исключением слагаемого второго порядка по полям Kn, отвечающим полям материи спина 1/2, которое может включать не более одного дополнительного поля размерности единица.

Теперь можно использовать сохранение гостовского числа, чтобы показать, что на самом деле GN,∞[c,K] вообще не содержит слага-

емых второго порядка по Kn. Для доказательства нам потребуется

знать гостовские квантовые числа полей Kn. Åñëè ïîëå cn имеет гостовское квантовое число gn, то это число для Dn равно gn + 1, ïî-

этому полям Kn следует приписать гостовское квантовое число - gn - 1. Для полей Aα,μ, yl, wα è w*α соответствующие числа равны

0, 0, +1 и –1, так что отвечающие им внешние поля Kn имеют духовые числа -1, -1, -2 и 0. Это исключает наличие в GN,∞[c,K]

любых слагаемых второго порядка по Kn, если не считать одного возможного исключения для слагаемого второго порядка по внешним полям K*α, отвечающего полям w*α (но не содержащего никаких

других полей). Однако и эти слагаемые запрещены по другой при- чине. БРСТ преобразование полей w*α линейно по полям, причем

так что в данном случае

не зависит от K*α. Отсюда следует, что GN,∞[c,K] линейно по Kα,* и зависит от этих полей только через слагаемое –òd4xK*αhα. (Ïîëÿ K*α è hα – бозонные, так что их порядок несуществен.) В частности, при N > 0 величины GN,∞[c,K] не зависит от Kα,*.

Мы видим, что величина GN,∞[c,K] самое большее линейна по

âñåì Kn. Запишем это в виде

Напомним также зависимость SR îò K:

SR [c, K] = SR [c] + z d4x Dn [c; x]Kn (x) .

Поэтому слагаемые нулевого и первого порядка по K в (17.2.2) дают *

* Вторые слагаемые в (17.2.6) и (17.2.7) приводятся к указанному виду, если вспомнить, что χn è Kn имеют противоположную статистику, и поэто-

му для любых бозонных функционалов А и В

соответственно. Смысл этих соотношений станет, может быть, яснее, если ввести величины

с бесконечно малым ε. Тогда из соотношения (17.2.6) с учетом БРСТ инвариантности SR следует, что ΓN(ε) [χ] инвариантна относительно

преобразования

а из соотношения (17.2.7) вместе с нильпотентностью исходного преобразования БРСТ следует, что это преобразование нильпотентно.

Теперь следует понять, какова возможная форма такого нильпотентного преобразования. Как уже отмечалось, ΓN,∞ содержит толь-

ко слагаемые размерности четыре или меньше, так что DnN è, ñëå-

ψ → ψ + iθωαTα ψ ,

Aαμ → Aαμ + θ Bαβ∂μωβ + Dαβγ Aβμωγ ,

BαβEβγδ = Dαβδ Bβγ .

Первое уравнение имеет единственное решение *

Dαβγ = ZCαβγ .

Из второго уравнения вытекает, что матрица Bαβ коммутирует с

присоединенным представлением калибровочной группы, и поэтому (поскольку мы выбрали структурные константы полностью антисимметричными) должна быть пропорциональна кронекеровскому дельта-символу с коэффициентом, который мы обозначим Z N :

Bαβ = Z N δαβ .

Наконец, условие, что преобразование (17.2.10) нильпотентно при действии на фермионные поля (если таковые имеются), требует инвариантности ωαTαψ. Отсюда

[Tβ , Tγ ] = iEαβγ Tα ,

òàê ÷òî Tα отличается только множителем Z от генератора tα исход-

ного лагранжиана:

Tα = Z tα .

Таким образом, мы показали, что, не считая появления новых констант Z и N, преобразование (17.2.10) совпадает с исходным БРСТ преобразованием:

* Матрица (Dγ)αβ ≡ Dγαβ/Z удовлетворяет коммутационным соотношениям калибровочной алгебры Ли [Dγ,Dε] = CβεγDβ. Однако единственное

пред-ставление простой алгебры Ли А с той же размерностью и теми же трансформационными свойствами, как и присоединенное представление, есть само присоединенное представление.