ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1533
Скачиваний: 2
120 Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий
ωα → ωα − |
1 |
Z θ Cαβγ ωβω γ , |
(17.2.13) |
|||
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
ω* |
→ ω* |
− θh |
, |
(17.2.14) |
||
α |
|
|
α |
α |
|
|
|
hα → hα . |
|
(17.2.15) |
|||
Теперь мы должны использовать эту симметрию для ограни- чения структуры исправленного действия (17.2.8). Так как оно содержит только исходное перенормированное действие и бесконеч- ный вклад от n-петлевых поправок, это действие должно быть интегралом от лагранжиана
ΓN(ε) = z d4x LN(ε) , |
(17.2.16) |
ãäå L (Nε) — локальная функция полей и их производных размернос-
тью (в степенях массы) не выше 4. Кроме того, как было показано в разделе 16.4, L (Nε) должно быть инвариантно относительно всех сим-
метрий исходного лагранжиана, которые линейно действуют на поля. Чтобы установить эти симметрии, вспомним, что в обобщенной
ξ-калибровке «новый» лагранжиан в (15.7.6) принимает вид, получа- |
||||||||||||||
ющийся заменой слагаемого −(∂μ Aαμ )(∂νAαν ) / 2ξ в (15.6.16) на слагае- |
||||||||||||||
ìûå hαfα + 1ξhαhα: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L |
|
= L |
|
− |
1 |
FμνF |
− ∂ |
|
ω* |
∂μω |
|
|
|
|
NEW |
M |
|
μ |
α |
|
|
||||||||
|
|
4 |
α αμν |
|
α |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ Cαβγ (∂μω*α )Aγμωβ |
+ hα ∂μ Aαμ + |
1 |
ξhαhα . |
(17.2.17) |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Исследование этой формулы обнаруживает следующие линейные симметрии.
1.Лоренцовская инвариантность.
2.Глобальная калибровочная инвариантность, т. е. инвариантность относительно преобразований
δψ |
(x) = iεα (t )m ψ |
m |
(x) , |
(17.2.18) |
l |
α l |
|
|
17.2. Перенормировка. Непосредственный анализ |
121 |
δAβμ (x) = Cβγα εα Aγ μ (x) , |
(17.2.19) |
δωβ (x) = Cβγαεαωγ (x) , |
(17.2.20) |
δω*β (x) = Cβγαεαω*γ (x) , |
(17.2.21) |
δhβ (x) = Cβγα εαhγ (x) |
(17.2.22) |
ñпостоянными параметрами εα.
3.Антигостовская трансляционная инвариантность, т. е. инвариантность относительно преобразования
ω* |
x |
→ ω* |
x |
+ c |
α , |
(17.2.23) |
α ( |
) |
α ( |
) |
|
|
ñпроизвольными постоянными параметрами cα.
4.Сохранение гостовского числа, т. е. числа, равного +1 для
ωα, –1 äëÿ ω*α и 0 для всех остальных полей.
Продолжим теперь исследование возможной структуры наиболее общего лагранжиана, который перенормируем в том смысле, что содержит только слагаемые с размерностью +4 или меньше, обладает указанными линейно действующими симметриями и инвариантен относительно модифицированных БРСТ преобразований (17.2.11)–(17.215).
Из (17.2.17) можно сделать вывод, что поля Aμα, ωα, ω*α è hα
имеют массовые размерности +1, +1, +1 и +2, соответственно. Заметим также, что из сохранения гостовского числа вытекает, что ω è ω*
возникают парами, а из антигостовской трансляционной инвариантности следует, что ω* должно входить только под знаком производной. Каждая пара полей ω è ∂μω* добавляет +3 в размерность, так что
требование перенормируемости исключает любое слагаемое с более чем одной такой парой. Но если эта пара одна, то может входить еще не более чем одна производная или одно дополнительное калибровочное поле. С учетом лоренц-инвариантности единственными разрешенными перенормируемыми взаимодействиями, включающими
поля гостов, являются линейные комбинации слагаемых вида
∂μω*α∂μωβ èëè ∂μω*αAμγωβ.
122 |
Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий |
Далее, рассмотрим слагаемые, содержащие поле hα и, возможно, другие поля, кроме ω è ω*. Размерность этого поля равна
+2, так что требования перенормируемости и лоренц-инвариантно- сти позволяют этому полю появиться только * в произведении либо с другим полем hβ, либо с величинами ∂μAμβ èëè AμβAμγ.
Наконец, лагранжиан будет содержать перенормируемые слагаемые, включающие только поля материи и калибровочные поля. Назовем сумму этих слагаемых LψA. Собирая все результаты и ис-
пользуя глобальную калибровочную инвариантность, находим, что самое общее перенормируемое взаимодействие, допускаемое предполагаемыми симметриями (не считая БРСТ инвариантности), имеет вид
L (Nε)= LψA + 21 ξ′hαhα + chα ∂μ Aαμ − eαβγ hα Aβμ Aγμ
(17.2.24)
− Zω (∂μω*α )(∂μωα ) − dαβγ (∂μω*α )ωβ Aγμ ,
ãäå ξ′, Zω, χ, dαβγ è eαβγ — неизвестные константы, на которые нет
никаких ограничений, кроме очевидных свойств симметрии вроде глобальной калибровочной инвариантности или равенства eαβγ = eαγβ.
(Как отмечалось выше, мы для простоты предполагаем, что калибровочная группа проста, но расширение на прямую сумму простых и U(1) калибровочных групп тривиально. Например, вместо одного слагаемого, пропорционального hαhα, появится сумма таких слагаемых,
по одному на каждую простую подгруппу калибровочной группы.) Теперь наложим требование БРСТ инвариантности. Сокращение
слагаемых, пропорциональных θ∂μhα∂μωα, показывает, что
|
c = Zω / Z N . |
(17.2.25) |
Сокращение в δL(ε) |
слагаемых, пропорциональных θ∂μhαωβAμγ (èëè |
|
N |
|
|
θ∂μω*αωβ∂μωα) требует выполнения равенства |
|
|
|
dαβγ = −bZω N g Cαβγ . |
(17.2.26) |
* В теории со скалярными полями могут содержаться перенормируемые слагаемые с hα, умноженным на одно или два скалярных поля. Такие сла-
гаемые не причиняют беспокойства, но для краткости они здесь не будут рассматриваться.
17.2. Перенормировка. Непосредственный анализ |
123 |
После этого слагаемые в δL(ε) , пропорциональные θ∂μωαωβωγAμδ àâ- |
|
N |
|
томатически сокращаются в силу тождества Якоби для структур- |
|
ных констант. Сокращение в δL(ε) слагаемых, пропорциональных |
|
N |
|
θhα∂μωβAμγ (èëè θhαAμβAγμωδ), приводит к равенству |
|
eαβγ = 0. |
(17.2.27) |
Наконец, действие бесконечно малого преобразования (17.2.10) на поля материи и калибровочные поля совпадает с локальным
калибровочным преобразованием с калибровочными параметрами |
|
εα = Z N θωα и константами связи, перенормированными множите- |
|
~ |
~ |
лем 1/N (т. е. с заменой tα è Cαβγ íà tα ≡ tα / N è |
Cαβγ ≡ Cαβγ / N ), |
так что сокращение в δL(ε) слагаемых, содержащих только один |
|
N |
|
множитель ωα и не содержащих множителей hα |
èëè ω*α, эквива- |
лентно утверждению, что лагранжиан LψA этих полей калибровоч-
но-инвариантен с перенормированной константой связи. Мы приходим к выводу, что самый общий перенормируемый лагранжиан, допускаемый теми принципами симметрии, которые мы предположили, имеет вид
(ε) |
~μν ~ |
|
μ |
|
~ |
1 |
ξ′hαhα |
|
|
|
LN |
= −ZAFα Fαμν − Zψ ψ γ |
|
[∂μ |
− itα Aαμ ]ψ + |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
(17.2.28) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
μ |
|
|
* |
* |
~ |
* |
μ |
||
+ (Zω / N Z)hα ∂μ Aα |
− Zω (∂μωα )(∂μωα ) + Zω Cαβγ (∂μωα )ωβ Aγ |
, |
||||||||
где тильда в F~αμν указывает на то, что напряженность поля сле-
дует вычислять с перенормированной структурной константой
~αβγ = αβγ N . Но ведь помимо появления нескольких новых по-
C C /
стоянных коэффициентов, это тот же самый лагранжиан, от которого мы стартовали. Новые константы в этом лагранжиане (вклю- чая калибровочную константу связи) можно свободно сдвигать, подбирая слагаемые N-го порядка в соответствующих константах исходного неперенормированного лагранжиана. В частности, можно так подобрать эти слагаемые, чтобы сделать Γ(ε)N = SR, и в этом случае ΓN,∞ = 0, что и завершает доказательство.
* * *