Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

В приведенном выше доказательстве существенно использовалась случайная инвариантность лагранжиана (17.2.17) в фиксированной калибровке относительно антигостовского преобразования трансляции (17.2.23). Такой симметрии не будет для фиксирующих калибровку функционалов, отличающихся от fα = ¶μAμα и не являю-

щихся пространственно-временными производными. Часто цитируемый пример, в котором сохраняется лоренц-инвариантность и глобальная калибровочная инвариантность, это fα = ¶μAμα + aαβγAμβAγμ, ãäå aαβγ — постоянная матрица, симметричная по b è g, преобразую-

щаяся как тензор при глобальных калибровочных преобразованиях. (Подобные постоянные тензоры существуют для всех SU(N) групп c N ³ 3.) Другой, более важный пример — фиксирующий калибровку

фоновый функционал, который мы рассмотрим в разделе 17.4. Отсутствие антигостовской трансляционной инвариантности не

влияет на вывод, что LN(ε) является лоренц-инвариантной и глобаль-

но калибровочно-инвариантной локальной функцией полей и их производных размерности не более 4, которая инвариантна относительно перенормированного преобразования БРСТ (17.2.11)–(17.2.15). Но в отсутствие антигостовской трансляционной инвариантности в LN(ε) появляются новые слагаемые, удовлетворяющие перечислен-

ным выше условиям. Так как преобразование (17.2.11)–(17.2.15) нильпотентно, можно строить такие слагаемые в виде s¢F, если преобразование (17.2.11)–(17.2.15) записать в виде cn ® cn + qs¢cn, à F —

произвольная лоренц-инвариантная и глобально калибровочно инвариатнеая функция с гостовским числом –1. Одно из таких слагаемых имеет вид

aαβγ s′dω*α Aβμ Aγμ i = −aαβγ hα Aβμ Aγμ + 2 Z ω*α dN ∂μωβ + Cβδε Aδμωδ iAγμ .

Оно не причиняет хлопот,поскольку является просто перенормированным вариантом обычных гостовских и фиксирующих калибровку слагаемых, возникающих от слагаемых aαβγAμβAγμ в фиксирующем калибровку функционале fα. Однако есть еще одно возможное

слагаемое вида

ãäå bαβγ — константа, антисимметричная по a è b и преобразующа-

яся как тензор относительно глобальных калибровочных преобра-

зований. (Такие тензоры существуют для любой группы Ли. Например, можно взять bαβγ пропорциональной Cαβγ.) Однако метод Фад-

деева–Попова–де Витта не может привести к появлению четырехгостовских взаимодействий в лагранжиане, так что не существует подходящих контрчленов, способных поглотить ультрафиолетовые расходимости от такого слагаемого. Это не только техническая проблема при доказательстве перенормируемости. Для фиксирующих калибровку функционалов типа fα = ∂μAμα + aαβγAμβAγμ однопетле-

вые диаграммы действительно приводят к расходимостям в четырехгостовских амплитудах, которые не сокращаются контрчленами в лагранжиане Фаддеева−Попова−де Витта.

Представляется, что единственным решением этой проблемы, помимо того, чтобы избегать фиксирующих калибровку функционалов, отличных от fα = ∂μAμα, является то, которое упомянуто в разделе 15.7. Следует отказаться от подхода Фаддеева−Попова−äå

Витта и вместо этого рассматривать с самого начала действие как самую общую перенормируемую функцию от полей материи, калибровочных, гостовских и вспомогательных полей, инвариантную относительно БРСТ симметрии и других симметрий теории. Согласно рассуждениям раздела 15.8, действие можно записать в виде I0 + sΨ, ãäå I0 свободно от гостов, а S-матрица не зависит от Ψ,

поэтому можно оправдать эту процедуру, квантуя калибровочную теорию в аксиальной калибровке, где госты отщепляются от остальных частиц, и выбирая затем Ψ по своему желанию. В частности, можно включить в действие слагаемые s(ω*ω*ω), которые мо-

гут служить контрчленами к расходимостям в четырехгостовских вершинах.

17.3. Перенормировка: произвольные калибровочные теории *

Приведенное в предыдущем разделе доказательство перенормируемости неабелевых калибровочных теорий основано на «прямолинейном» анализе возможных слагаемых в действии, имеющих размерность 4 или меньше. Но, как мы видели в гл. 12, это ограни- чение на размерность слагаемых в действии может в лучшем слу-

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

чае рассматриваться как хорошее приближение. Успешные перенормируемые квантовые теории поля, использующиеся для описания сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий, почти наверняка являются эффективными теориями поля, включающими слагаемые с размерностью d > 4. Такие слагаемые обычно не наблюдаются, так как они подавлены 4 – d степенями некоторой очень большой массы, вероятно, порядка 1016 – 1018 ГэВ. Гравитация также может быть описана эффективной теорией поля, лагранжиан коòорой содержит не только слагаемое Эйнштейна–Гильберта −gR / 16πG, но и все скаляры, построенные из четырех и более

производных гравитационного поля. Мы должны показать, что калибровочные теории такого рода, которые неперенормируемы по индексу, тем не менее, перенормируемы в современном смысле, т. е. ультрафиолетовые расходимости управляются калибровочными симметриями так, что для сокращения каждой бесконечности может быть найден соответствующий контрчлен 3 *. ‡

Для доказательства вернемся к действию S[χ,χ ], введенному

в разделе 15.9 и рассматриваемому как функция независимых полей χn (включающих поля материи и калибровочные поля ϕr, поля духов ωA, а также неминимальные поля ωA* è hA) вместе с соответствующими антиполями χ‡n. В теориях типа Янга–Миллса или кван-

товой гравитации, которые основаны на замкнутой калибровочной алгебре со структурными константами fCAB, такое действие должно иметь вид

ãäå I[ϕ] инвариантно относительно инфинитезимальных калибровоч- ных преобразований ϕr → ϕr + εAfrA[ϕ]. (Как и в разделе 15.9, индек-

* Содержание последнего предложения уточняется ниже: в предпредположении, что действие перенормированной теории удовлетворяет квантовому мастер-уравнению, необходимо показать, что перенормировка сводится к пернормировке констант связи (включая массовые параметры) и антиканоническому преобразованию полей и антиполей. Коротко говоря, перенормировка есть «замена переменных». Необходимо также добавить, чьл излагаемая процедура перенормировки предполагает наличие калибровочно-инвариатной регуляризации. — Прим. ред.

сы r, A и т. д. включают пространственно-временные координаты, по которым производится интегрирование при суммировании по индексам.)

Мы не будем ограничиваться действиями такого вида, но предположим, что локальные симметрии теории формулировались в виде требования, что действие должно подчиняться некоторым «структурным ограничениям» на зависимость от антиполей, одним из примеров которых может служить (17.3.1). Предполагается, что структурные ограничения линейны в том смысле, что если они справедливы для S + S1 è S + S2, то при любых постоянных a1, a2 они верны и для S + a1S1 + a2S2. Кроме того, потребуем выполнения квантового мастер-уравнения (15.9.35)

с S, определенным формулой (15.9.34). Петлевой параметр $, смысл которого объясняется в предыдущем разделе, явным образом входит в виде множителя.

Действие представляется в виде степенного ряда по $:

ãäå SR — действие того же общего вида, что и S, но с заменой всех констант связи на их конечные перенормированные значения, а SN — набор бесконечных контрчленов. Предполагается, что действие S удовлетворяет квантовому мастер-уравнению (17.3.2) во всех порядках по $, так что SR удовлетворяет классическому мастеруравнению

а контрчлены удовлетворяют уравнению

Наличие контрчленов SN само по себе недостаточно для сокращения ультрафиолетовых расходимостей в петлевых диаграммах. Как обобщение обычной перенормировки полей мы должны также

ввести набор перенормированных полей и антиполей, определенных через исходные поля и антиполя с помощью произвольного антиканонического преобразования. Инфинитезимальное антиканони- ческое преобразование можно определить формулой (15.9.26) через инфинитезимальный производящий функционал δF, так что последовательность антиканонических преобразований G(t) → G(t + δt) = G(t) + (F(t)δt,G(t)) (где G(t) — любой функционал от полей и антипо-

лей, а F(t) – производящий функционал) приводит к конечному

каноническому преобразованию → ~ ≡ , причем

G G G(1)

тогда формулы (17.3.3), (17.3.6) и (17.3.7) приводят к преобразованному действию

Вопрос заключается в том, можем ли мы использовать эту свободу для такого выбора FN è SN, чтобы сократить все бесконечности, возникающие от петлевых диаграмм.

Как уже отмечалось, первое слагаемое SR в (17.3.3) автомати- чески конечно. Предположим, что сократив бесконечности с помощью SM è FM при M < N возможно устранить все бесконечности в слагаемых порядка $M в квантовом эффективном действии ΓM äëÿ

M < N. Как было показано в предыдущем разделе, уравнение ЗиннЖюстена (получающееся в данном случае, если положить χ‡n = Kn + δΨ/δχn) утверждает, что тогда бесконечная часть ΓN,∞ слагае-

мого в квантовом эффективном действии порядка $N удовлетворяет условию