Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

3×3 матриц со столбцами и строками, помеченными1 тремя цветами кварков), нормированных условием Tr(tαtβ) = δαβ, индекс n ну-

мерует ароматы кварков, цветовые индексы кварков опущены. Как это было показано для электродинамики в разделе 12.5, данный лагранжиан обладает важными дополнительными симметриями: он сохраняет пространственную четность*, зарядовую четность и число кварков каждого аромата (минус число соответствующих антикварков), в том числе, давно известное квантовое число «странность», подсчитывающее число s-кварков. Таким образом, квантовая хромодинамика немедленно объясняет загадочный факт, что сильные взаимодействия обладают различными симметриями, не являющимися симметриями всех взаимодействий. Из этих рассуждений становится ясно также, почему в этой теории, как мы указывали выше, слабые взаимодействия не вносят сильных нарушений четности, зарядовой четности, странности и т. д. Поскольку все перенормируемые взаимодействия кварков и глюонов сохраняют эти симметрии, то при энергиях Е, много меньших масс mW частицпереносчиков слабых взаимодействий, они могут быть нарушены только неперенормируемыми слагаемыми в лагранжиане эффективной теории поля, например, взаимодействиями вида

ψψψψ, которые, как обсуждалось в разделе 12.3, будут подавле-

ны отрицательными степенями mW, а также константами слабых взаимодействий.

Конечно, не исключено, что кварки и глюоны обладают новым типом сильного взаимодействия на шкале энергий Λ′, много большей чем характерная для квантовой хромодинамики шкала Λ.

Например, как обсуждается в разделе 22.5, кварки могут быть связанными состояниями взаимодействующих с калибровочными полями более фундаментальных фермионов, причем асмптотически

свободные константы связи становятся сильными при энергиях порядка Λ′ и запирают эти фермионы внутри кварков. В этом случае

эффективная плотность лагранжиана для кварков при энергиях E n Λ′ будет содержать неперенормируемые взаимодействия типа

ψψψψ, которые подавлены только степенями E/Λ′. Эти взаимо-

* Хотя это и не было известно в 1973 году, мы увидим в разделе 23.6, что непертурбативные эффекты могут нарушать четность в квантовой хромодинамике. Предлагались различные способы избежать сильного нарушения четности, однако до сих пор неясно, какой из них правилен.

действия могут проявиться не только в малых нарушениях сим- мет-рий типа сохранения четности или аромата кварков при обыч- ных энергиях, но и в отклонениях23 от количественных предсказаний квантовой хромодинамики при энергиях, стремящихся к Λ′.

Рассмотрим более детально поведение константы связи квантовой хромодинамики. В низшем порядке уравнение ренормализационной группы согласно (18.7.4) имеет вид:

Его решение имеет вид

ãäå Λ — постоянная интегрирования. Эта формула выявляет харак-

терное свойство теорий безмассовых (или, как для кварков, почти безмассовых) частиц. В таких теориях одна из безразмерных констант связи в лагранжиане заменяется на свободный размерный параметр. В выражении (18.7.7) не содержится свободных безразмерных параметров, но есть один свободный параметр размерностью массы — постоянная интегрирования Λ.

Такие расчеты были осуществлены вплоть до трехпетлевого порядка. В этом порядке уравнения ренормализационной группы имеют вид 24

ãäå βn — численные коэффициенты:

18.8. Исправленная теория возмущений*

Потрясшая основы работа 1 Гелл-Манна и Лоу в значительной степени была посвящена проблеме «исправления» теории возмущений, т. е. использованию идей ренормгруппы и результатов теории возмущений в данном порядке для того, чтобы что-то сказать о следующем порядке теории возмущений. Чтобы пояснить это, вернемся к изученному Гелл-Манном и Лоу частному случаю — поляризации вакуума в квантовой электродинамике.

Напомним, что перенормированный электрический заряд eμ при скользящем масштабе μ определяется выражением (18.2.36) че-

рез голый заряд е â âèäå

ãäå N(A)μ — постоянная, которая после включения в неперенорми-

рованное электромагнитное поле дает поле, перенормированное на шкале μ (см. выражение (18.2.21)). Поэтому можно определить пере-

нормированный (и, следовательно, не зависящий от обрезания) полный фотонный пропагатор Δ′ρσ(q, μ, eμ) через полный пропагатор Δ′Bρσ(q, eB) неперенормированного поля как

так что при этом функция eμ2Δ′ρσ(q, μ, eμ) не зависит ни от μ, поскольку она равна еÂ2 Δ′Bρσ(q, eB), ни от обрезания, поскольку eμ è

Δ′ρσ(q, μ, eμ) — перенормированные величины. (Мы неявно пока-

зываем здесь зависимость от обрезания.) Однако из лоренц-инвари- антности и размерного анализа следует, что эта функция должна иметь вид

Так как (18.8.3) не зависит от μ, можно положить μ = q2 ≡ q , òàê ÷òî

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

Посмотрим теперь, что может это выражение сказать нам о структуре ряда теории возмущений для d(q2/μ2, eμ). Áåòà-ôóí-

кция для е имеет разложение

Тогда уравнение ренормгруппы для eμ имеет решение в виде сте-

пенного ряда

Если при этом разложить и d:

Заметим, что главные степени ln(q2/μ2) в каждом порядке для d(q2/μ2, eμ) равны, соответственно, 0, 1, 1, 2, 3, ... . Кроме того, если мы вычислим d(q2/μ2, eμ) в порядке eμ6, и определим, тем

самым, b1 è b2, то немедленно сможем выписать1 коэффициент при старшем логарифме в порядке eμ8 â âèäå – b1b2. Каждый из

этих результатов очень трудно вывести без использования метода ренормгруппы.