Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Отсюда следует, что если γ доставляет максимум Vψ(γ), òî ýòî æå

верно для gh, так что условие (19.6.4) удовлетворяется как для ψ~ = h−1γ −1ψ , òàê è äëÿ ψ~ = γ −1ψ . Поэтому величина γ определена

пока что с точностью до правого умножения на элемент Н. (Так, в рассмотренном в предыдущем разделе примере четырехмерное вращение R можно было умножить справа на любое вращение, действующее только на первые три компоненты 4-векторов.) Можно рассматривать два элемента группы γ1 è γ2 как эквивалентные, если γ1 = γ2h, где h Н. Это действительно соотношение эквивалентности, поскольку оно рефлексивно (если γ1 эквивалентно γ2, òî γ2 эквивалентно γ1), симметрично (γ эквивалентно самому себе) и транзитивно (если γ1 эквивалентно γ2, à γ2 эквивалентно γ3, òî γ1 эквивалентно γ3). Поэтому элементы группы G можно рассортировать по

несвязным «классам эквивалентности», каждый из которых состоит из элементов γ, отличающихся только правым умножением на эле-

мент Н. Такие классы эквивалентности называют правыми смежными классами G по Н. Нас интересует параметризация пространства правых смежных классов (обозначаемого G/H).

Для этого достаточно только выбрать по одному элементу группы, представляющему каждый правый смежный класс. В слу- чае рассмотренной в предыдущем разделе SO(4) симметрии, нарушенной до SO(3), удобно выбрать эти представительные эле-

r

менты как вращения, параметризованные 3-вектором ζ. Возможен

и другой выбор, пригодный для любой компактной группы G, нарушенной до любой подгруппы Н. Приспособим вначале наши обозначения генераторов группы G к тому, по какому пути нарушается симметрия. Назовем ti полный набор независимых генераторов Н. Согласно (19.6.2) эти генераторы удовлетворяют условию

Обозначим xa другие независимые генераторы G в любом базисе с полностью антисимметричными структурными константами. (Для

компактных групп такой базис всегда существует; см. раздел 15.2.) Так как xa не входит в правую часть (19.6.8), все структурные константы Cija равны нулю, а из полной антисимметрии этих констант следует, что Ciaj = 0, òàê ÷òî

Однако не обязательно, чтобы коммутаторы x друг с другом были линейными комбинациями t; это зависит от природы G и Н, а также от того, как Н погружена в G. (Когда Cabc равны нулю, пространство смежных классов G/H называется симметрическим пространством.) В общем случае можно записать

Любой набор генераторов с коммутационными соотношениями вида (19.6.8)−(19.6.10) называется разложением Картана алгебры Ли. Примером может служить киральная SU(2) × SU(2) алгебра Ли (19.4.9)−

(19.4.11), для которой Cabc действительно равны нулю.

Поскольку ti è xa исчерпывают алгебру Ли группы G, любой конечный элемент G можно представить в виде:

ãäå ξa è θi − набор действительных параметров. Но преобразование γ(x) в (19.6.3) определено пока что с точностью до правого умноже-

ния на элемент Н, так что можно стандартизировать наше определение γ, âçÿâ åãî â âèäå

Параметры ξa(x) можно отождествить (с точностью до нормировки)

с полями голдстоуновских бозонов.

Ниже будем просто предполагать, что представительные элементы были выбраны из каждого правого смежного класса и выражены как непрерывные функции γ(ξ) некоторых параметров ξa. ßâ-

ным примером такого выбора может служить выражение (19.6.12), но мы не станем ограничивать себя именно этой параметризацией.

Предположим теперь, что с помощью (19.6.3) мы заменили все поля ψ(ξ) в лагранжиане на γ(x)ψ~ (x). Производные полей равны

Поэтому, когда мы выражаем лагранжиан не через ψ, а через ψ~ , поля голдстоуновских бозонов входят через зависимость от γ−1(ξ)∂μγ(ξ) îò ξa(x) и его производных.

Любая вариация элемента группы типа γ(ξ) может быть запи-

сана как произведение группового элемента на линейную комбинацию генераторов группы. В нашем случае можно записать это в виде

Следовательно, поля голдстоуновских бозонов войдут в лагранжиан в результате появления в нем величин Daμ(x) è Eiμ(x) (è èõ ïðî-

изводных). Заметим, что в случае точных нарушенных симметрий каждое взаимодействие ξ должно включать по крайней мере одну

производную, так что в лагранжиане не могут возникнуть массовые слагаемые mab2ξaξb, а все взаимодействия обращаются в нуль при

обращении в нуль 4-импульса любого голдстоуновского бозона. Даже если мы не знаем деталей лежащего в основе лагранжи-

ана, можно много узнать о том, как величины Daμ è Eiμ возникают в

проеобразованном лагранжиане, изучая их свойства преобразований. Под действием произвольного элемента g группы G исходное поле ψ преобразуется по (19.6.1):

Далее, gγ(ξ) есть элемент G, так что он должен принадлежать

тому же правому смежному классу, что и некоторый элемент γ(ξ′), и поэтому может быть записан в виде

ãäå h − некоторый элемент ненарушенной подгруппы Н. Подставляя это в (19.6.17), находим, что ψ′(ξ) имеет вид (19.6.3):

В примере, приведенном в начале предыдущего раздела, ψ~ состояло из единственного изоскаляра σ, и поскольку этот изоска-

ляр был инвариантен относительно ненарушенной подгруппы изоспина, он был также и кирально-инвариантен. Переходя к более общему случаю, мы видим теперь, что не обязательно инвариантно относительно произвольных преобразований G, а что его G-преобразование зависит только от преобразования относительно ненарушенной группы Н. Это было явно видно в предыдущем разделе, когда мы ввели нуклонные поля; относительно произвольного бесконечно малого1 преобразования нарушенной

~

киральной симметрии поля N преобразуются с помощью завися-

щего от полей изоспинового вращения (19.5.45).

Задаваемые формулами (19.6.18) и (19.6.20) законы преобразования ξ → ξ′ è ψ~ → ψ~ ′ никак не связаны с конкретными свойствами линейных G-преобразований исходных полей ψn. Действительно,

чтобы вывести эти законы преобразования, нам не нужно начинать с лагранжиана, инвариантного относительно линейных G-преобра- зований. Если задан любой набор полей, на которых линейно или нелинейно действует группа G, а подгруппа Н оставляет инвариантным одно конкретное множество значений полей (их вакуумные средние), мы всегда можем выразить эти поля (по крайней мере, в конечной окрестности конкретных значений полей) через множество величин ξa è ψ~ n (x) , которые преобразуются относительно G согласно стандартной реализации ξa → ξ′a, ψ~ → ψ~ ′, определенной