Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

298 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

B

Если теперь заменить поля ψ набором ξa, ψ~ , это слагаемое в лаг-

ранжиане все равно будет иметь вид (19.6.39), но выражение (19.6.40) теперь запишется как

B

ãäå fa(ξ,g) есть результат применения преобразования g к ξa, îïðå-

деленный выражением (19.6.18):

Как будет видно, легко найти наборы операторов, удовлетворяющих (19.6.41), так что решение единственно с точностью до задания определенных Н-инвариантных функций ψ~ .

Во-первых, рассмотрим случай ξa = 0 è γ = γ(ξ′). В этом случае gγ(ξ) = γ(ξ′), òàê ÷òî

Подставляя эти равенства в формулу (19.6.41), находим (опуская штрихи):

B

Этим определяются операторы OA ξa , ψ~ äëÿ âñåõ ξa, если мы знаем их для ξa = 0.

Пусть теперь ξa = 0 и g — элемент h подгруппы ненарушенной симметрии Н. В этом случае gγ(ξ) = h, òàê ÷òî

fa (0, h) = 0, h(0, h) = h .

Подставляя эти выражения в формулу (19.6.41), находим

B

Иными словами, при ξ = 0 оператор OA должен преобразовываться

относительно линейных преобразований Н так же, как было полу- чено в представлении (19.6.40) группы G. (Однако в этом утверждении нет ничего, что фиксировало бы нормировку различных неприводимых представлений Н, найденных в представлении G (19.6.40); некоторые из них могут даже вообще отсутствовать.)

Наконец, заметим, что любой набор операторов O, удовлетворяющих (19.6.44), позволяет с помощью соотношения (19.6.43) построить операторы, удовлетворяющие общим правилам (19.6.40) преобразований под действием группы G. Используя формулы (19.6.43) и (19.6.44), получаем, что левая часть выражения (19.6.41) принимает вид:

OA fa (ξ, g), h(ξ, g)ψ~ = å Dγ b f(ξ, g)g ABOB 0, h(ξ, g)ψ~

= å D γ b f(ξ, g)gh(ξ, g)ABOB 0, ψ~

B

= å Dgγ(ξ) ABOB 0, ψ~

B

= å D[g]ABOB ξ, ψ~ ,

B

как и следовало показать.

В качестве примера рассмотрим группу SO(4), спонтанно нарушенную до SO(3), и предположим, что мы хотим построить преобразующиеся по 4-векторному представлению SO(4) операторы из

r

поля голдстоуновского бозона ζ(x) и других полей ψ~(x) . Согласно

формуле (19.6.43), эти операторы должны иметь вид

где R — некоторое SO(4) вращение, определенное формулами (19.5.8) и (19.5.9):

300 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

Условие, что R — ортогональная матрица, удовлетворяется, если выбрать другие ее компоненты как

Следовательно любые скалярные (в противоположность псевдоскалярным) операторы, преобразующиеся как четвертая и третья компоненты киральных 4-векторов, должны входить в эффективный лагранжиан в виде

но как псевдоскалярный изовектор, скалярный изоскаляр, скалярный изовектор и псевдоскалярный изовектор, но они никак не должны быть связаны друг с другом. Для процессов с участием только пионов мы используем эффективный лагранжиан, который не со-

но в предыдущем разделе, мы видим, что единственный оператор

без производных в эффективном лагранжиане, нарушающий ки- r r

ральную симметрию, пропорционален (1 - z2 ) (1 + z2 ) , а следователь-

но оператору (19.5.34). Для того, чтобы включить нарушающие симметрию операторы, билинейные по нуклонному полю, следует учесть сохранение четности и изоспина, так что получаем:

Таким образом, как и было заявлено в предыдущем разделе, единственными билинейными по нуклонным полям и нарушающими симметрию слагаемыми без производных являются выражения вида (19.5.61)-(19.5.64).

Феноменологический лагранжиан можно использовать для вы- числения амплитуд процессов с участием медленных частиц. Это делается во многом аналогично тому, как в предыдущем разделе рассматривалась киральная теория пионов и нуклонов. При подсче- те степеней характерного малого импульса Q внутренние линии голдстоуновских бозонов всегда вносят множители порядка Q−2. Кроме того, внутренняя линия каждой из описываемых полями ψ~ òÿæå-

лых частиц (любого спина), поглотившая от поля голдстоуновского бозона суммарный 4-импульс q, будет иметь пропагатор

(где N — некоторый полином, зависящий от спина и типа частиц, а М — масса частицы), так что он вносит множитель порядка Q−1. Òå

же рассуждения, которые привели к формуле (19.5.55), приводят в данном случае к числу степеней Q в заданной фейнмановской диаграмме

ãäå Vi — число вершин типа i, di — число производных (в слу- чае приближенных нарушенных симметрий — число производных или масс голдстоуновских бозонов) в вершине типа i, hi — число линий тяжелых частиц, сходящихся в вершине типа i, L

— число петель, Eh — число внешних линий тяжелых частиц. В общем случае для всех взаимодействий, разрешенных киральными симметриями, коэффициент di + hi/2 – 2 неотрицателен. Для взаимодействий только между голдстоуновскими бозонами всегда di ³ 2, так как подобные взаимодействия должны быть

либо по меньшей мере билинейными по ковариантным произ-

водным (19.6.15), либо пропорциональными нарушающим симметрию параметрам (типа масс кварков в предыдущем разделе), которые имеют порядок квадрата массы голдстоуновских бозонов. Взаимодействия между голдстоуновскими бозонами и тяжелыми частицами должны включать ковариантные производные (19.6.15) или (19.6.30), поэтому для них di ³ 1, а также hi ³ 2. Единственные

взаимодействия, для которых di + hi/2 < 2, трилинейны по тяжелым частицам, и мы их исключаем, поскольку рассматриваем только диаграммы, в которых все тяжелые адроны остаются нерелятивистскими. Если для всех взаимодействий di + hi/2 ³ 2, òî

ведущими диаграммами будут те, которые построены только по взаимодействиям с di + hi/2 = 2 и не содержат петель1 . Опять же, поправки возникают за1 счет взаимодействий с большим числом производных и/или большим числом полей тяжелых частиц и/ или одной или более петлями.

Если нет нарушения внутренней симметрии, часть лагранжиана, включающая только поля голдстоуновских бозонов, содержит единственное слагаемое с di = 2:

ãäå Fab2 — некоторая действительная положительно определенная матрица. Для случая (19.6.12) и большого класса других па-

В SO(4) теории из предыдущего раздела генераторы xa è ïîëÿ xa

преобразуются по неприводимому представлению ненарушенной подгруппы H = SO(3), так что в этом случае Fab2 = Fπ2dab, ãäå Fπ —

единственная константа, характеризующая энергетический масштаб спонтанного нарушения симметрии. В общем случае можно (не изменяя структурные константы) выбрать генераторы так, что Fab2 диагональна, причем все диагональные элементы равны друг