Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

другу внутри каждого неприводимого представления Н, но в остальном независимы.

* * *

Мы показали, как построить теории полей голдстоуновских бозонов, беря за исходные поля, принадлежащие линейным представлениям нарушенной группы симметрии, например, SU(2) × SU(2) 4-вектор ϕn(x), с которого мы начинали в разделе 19.5. При очень

низких энергиях существенными степенями свободы являются только голдстоуновские бозоны, так что в общем случае можно отбросить неголдстоуновские части поля, например, поле σ(x), определяемое

выражением (19.5.4). Но бывают обстоятельства, при которых необходимо вернуться к полным линейным представлениям группы нарушенной симметрии, лишь одной частью которых являются поля голдстоуновских бозонов.

Это случается, когда в результате изменения температуры или включения какого-то внешнего поля система подводится близко к фазовому переходу второго рода, в котором она гладко переходит от нарушенной к ненарушенной симметрии. С одной стороны такого перехода симметрия нарушена, так что имеются безмассовые голдстоуновские бозоны и различные другие массивные возбуждения, в общем случае не образующие полных мультиплетов, реализующих линейные представления группы нарушенной симметрии. С другой стороны перехода симметрия не нарушена, так что имеются полные линейные мультиплеты, в общем случае не безмассовые. Если переход непрерывен, то очень близко к фазовому переходу голдстоуновский бозон должен составлять часть полного линейного мультиплета почти безмассовых возбуждений. Если исключить случайности или другие симметрии, этот мультиплет будет образовывать неприводимое представление группы нарушенной симметрии. Этот неприводимый мультиплет полей, которые становятся безмассовыми только в точке фазового перехода, носит название параметра порядка.

Такое определение параметра порядка точнее обычного. Ча- сто говорят о нем как о любом наборе полей, чьи средние по вакууму нарушают симметрию, но это слишком смутное определение — не существует одного набора полей, чьи средние по вакууму могут считаться ответственными за нарушение симмет-

рии. Например, SU(2) × SU(2) симметрия квантовой хромодина-

мики с безмассоâыми u и d кварками нарушается средним по вакууму от uu + dd, являющейся четвертой компонентой кираль-

ного 4-вектора, однако четвертые и более высокие степени кварковых полей также имеют неисчезающие вакуумные средние, принадлежащие другим представлениям SU(2) × SU(2). Напротив, при гладком фазовом переходе, в котором SU(2) × SU(2) ñòà-

новится ненарушенной, голдстоуновский бозон становится членом единственного безмассового представления SU(2) × SU(2), ÷òî

позволяет однозначно определить параметр порядка. Установление правильных параметров порядка очень важ-

но как для вычисления обсуждавшихся в разделе 18.5 критических показателей, так и при рассмотрении конфигураций типа вихревых нитей или магнитных монополей, имеющих, как мы покажем в разделах 21.6 и 23.3, сингулярность, в которой восстанавливается нарушенная симметрия. Часто предполагается, что параметр порядка для киральной SU(2) × SU(2) симметрии кван-

товой хромодинамики является киральным 4-вектором, однако доказательство этого неизвестно 32à.

19.7.Эффективные теории поля: SU(3) × SU(3)

Âначале 1960-õ ãã. Ãåëë-Ìàíí33 и Нееман34 расширили приближенную изоспиновую SU(2) симметрию ядерной физики до еще менее точной SU(3) симметрии, которая объединяла известные ба-

рионы и мезоны в различные неприводимые представления: октет 1/2+ барионов p, n, Λ0, Σ±,0, Ξ–,0; октет 0– мезонов K+,0, π±,0, η0,`K–

,0; октет 1– мезонов K*+,0, ρ±,0, ω0,`K*–,0; декуплет 3/2+ барионов ++,+,0,– , Σ*+,0,–, Ξ*0,–, Ω–. (Частицы η è Ω к тому времени не были открыты.) После успехов киральной SU(2) × SU(2) симметрии,

достигнутых в середине 1960-х гг., возникло естественное предположение, что сильные взаимодействия удовлетворяют также приближенной SU(3) × SU(3) симметрии, которая по аналогии с SU(2) × SU(2) спонтанно нарушается до своей диагональной под-

группы — группы SU(3) Гелл-Манна и Неемана. Затем, после появления квантовой хромодинa-мики, стало ясно, что эта симметрия возникает потому, что существуют не два, а три сравнительно легких кварка — u, d и третий кварк s, имеющий, как и

d, заряд –1/3. В этом случае SU(3) ´ SU(3) симметрия состоит из

независимых SU(3) преобразований (аналогичных преобразованиям (19.4.2)) левых и правых компонент полей u-, d-, s-кварков:

ãäå la — полный набор бесследовых эрмитовых матриц:

нормированных так, что Tr(lalb) = 2dab. Таким образом, генераторы SU(3) ´ SU(3) представлены на кварковых полях генераторами ta = la ненарушенной SU(3) симметрии и генераторами нарушенной

симметрии xa = lag5.

Чтобы определить поля голдстоуновских бозонов и выяснить их трансформационные свойства, заметим, что в представлении, реализуемом кварковыми полями, любое SU(3) ´ SU(3) преобразование можно записать как произведение exp(–ig5åaxala) на преобразование exp(iåaqala), относящееся к ненарушенной SU(3) подгруппе группы SU(3) ´ SU(3). (Знак «минус», сопровождающий x, включен

для удобства последующего сравнения компонент этого поля с введенными в разделе 19.5 пионными полями.) Таким образом, в этом представлении каждый правый смежный класс SU(3) ´ SU(3)/ SU(3) представлен матрицей вида g(x) = exp(–ig5åaxala), которая в нем содержится, и, с точностью до нормировки, параметры xa ýòèõ ïðà-

вых смежных классов можно взять за наши поля голдстоуновских