Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

ãäå

θL ≡ θV + θA θR ≡ θV − θA

a a a , a a a .

Умножая (19.7.7) справа на обратный оператор к (19.7.6), получаем

Иными словами, U(x) преобразуется по (`3, 3) представлению SU(3) × SU(3). Это все еще нелинейная реализация SU(3) × SU(3),

так как компоненты U(x) не независимы: они подчиняются нелинейным ограничениям U†U = 1 è DetU = 1.

Единственное SU(3) × SU(3)-инвариантное слагаемое второго

порядка по пространственно-временным производным в лагранжиане голдстоуновских бозонов имеет вид

ãäå F2 — требующая определения положительная константа. Можно выразить ξa через обычным образом нормированные поля псевдо-

скалярных мезонов, записав

так что кинематическое слагаемое в выражении (19.7.10) имеет обыч- ный вид

Чтобы определить константу F, заметим, сравнивая (19.7.4) с (19.5.42), что для бесконечно малого x компоненты x1, x2 è x3 —

такие же, как введенные в разделе 19.5 поля голдстоуновских бозонов z1, z2, z3. Затем, сравнивая (19.7.11) с (19.5.17) и (19.5.32), нахо-

дим, что константа F, определенная соотношением (19.7.10), совпадает с введенной в разделе 19.4 константой Fπ = 184 ÌýÂ.

Симметрия SU(3) ´ SU(3) квантовой хромодинамики наруша-

ется кварковым массовым слагаемым, которое в записи через определенное формулой (19.7.4) кварковое поле имеет вид

Выражение (19.7.12) содержит чисто бозонную часть, полученную путем замены кварковой билинейной формы на ее вакуумное среднее, определяемое ненарушенной SU(3) симметрией и симметрией относительно инверсии как *

Тогда массовое слагаемое голдстоуновских бозонов в лагранжиане имеет вид

* Тот факт, что законы сохранения четности, заряда и странности, верные для вакуума, не нарушаются также и кварковой массовой матрицей, есть следствие обсуждавшегося в разделе 19.3 условия подстройки вакуума. Аналогично, если кварковые поля определены так, что массы всех кварков положительны, тогда при v > 0 знак «минус» в соотношении (19.7.3) требуется условием, что истинный вакуум должен быть не максимумом, а минимумом энергии вакуума для вакуумных состояний, повернутых преобразованиями SU(3) × SU(3), ибо, как мы увидим, это обеспе-

чивает положительность масс октета псевдоголдстоуновских бозонов.

òîãî, SU(3) ´ SU(3) симметрия нарушаетсÿ изнутри массовым слагаемым в гамильтониане H1 = muuu + mddd + msss = qMqq, ãäå

Mq — кварковая массовая матрица (19.7.13). Массовая матрица псевдоголдстоуновских бозонов задается формулой (19.3.20) в виде

Так как это выражение — уже первого порядка по массам кварков, в этом порядке можно использовать ненарушенные SU(3) соотношения, и получить, как и ранее, результаты (19.7.16) и (19.7.17).

Массы каонного дублета mK+ = 493,65 ÌýÂ è mK0 = 497,7 ÌýÂ

довольно близки и много больше, чем масса пиона, так что из (19.7.16) вытекает, что mu è md должны быть значительно меньше, чем ms. При вычислении величин, чувствительных к mu è md, типа разности масс каонов или масс пионов, следует также принимать во внимание другую малую поправку, обусловленную электромагнитным взаимодействием. Электромагнитный ток равен J0 = ieqg μ Qq , ãäå Q

— диагональная матрица с элементами 2/3, –1/3, –1/3. Коммутаторы тока с генераторами SU(3) ´ SU(3) равны:

Видно, что Jμ коммутирует с X3, X6, X7 è X8, а также с Т3, Ò6, Ò7 è

Ò8, так что электромагнитная часть гамильтониана инвариантна относительно подгруппы SU(2) ´ SU(2) ´ U(1) ´ U(1) с этими генера-

торами. Поэтому в пределе нулевых масс кварков электромагнитные эффекты не придают массы нейтральным псевдоголдстоуновским бозонам 36 p0, K0,`K0 è h0, связанным со спонтанным

нарушением симметрий с генераторами X3, X6, X7 è X8. Кроме того, в пределе нулевых масс кварков существует ненарушенная симметрия SU(2) с генераторами Т6, Ò7 è Ö3Ò8 – Ò3, относительно которой K+ è p+ преобразуются как дублет, так что при нулевых массах кварков электромагнитные поправки к массам K+ è p+ равны 36.

Поскольку все кварковые массовые слагаемые и электромагнирные поправки малы, разумно рассматривать эти эффекты как дополнительные поправки к эффективному кварковому гамильтониану. Тогда с учетом электромагнитного взаимодействия массовая формула (19.7.16) должна быть поправлена и принимает вид 37

m2η = 4vbmu + md + 4ms g / 3Fπ2 ,

где — общая электромагнитная поправка для квадратов масс K+ è

π+.

Эти формулы накладывают одно линейное соотношение на пять масс псевдоголдстоуновских бозонов, представляющее вариант соотношения Гелл-Манна–Окубо *:

Если взять из эксперимента значения масс каона и пиона, то это соотношение предсказывает массу η, равную 566 МэВ, в то время

как экспериментальное значение равно 547 МэВ. Малое различие обычно приписывается смешиванию состояния η с более тяжелой псевдоскалярной частицей η′ массой 958 МэВ.

* Это соотношение было первоначально получено 38 на основе порождаемой генераторами Тà приближенной SU(3) симметрии Гелл-Манна и Неемана в пренебрежении разностями масс внутри изотопических мультиплетов. Из этого вывода невозможно установить, нужно ли применять полученное соотношение к самим массам псевдоскалярных мезонов, или, как здесь, к их квадратам. Если записать соотношение для самих масс, согласие с экспериментом будет не слишком хорошим: масса η получается

равной 613 МэВ. То обстоятельство, что соотношение Гелл-Манна–Окубо хорошо выполняется не для масс мезонов, а для квадратов их масс, подтверждает интерпретацию этих частиц как голдстоуновских бозонов спонтанно нарушенной приближенной SU(3) × SU(3) симметрии. Гелл-Манн и

Окубо использовали также порождаемую генераторами Тà приближенную SU(3) симметрию для вывода соотношений между массами других частиц, например (пренебрегая нарушающими изоспин эффектами), соотношения 2mN + 2mΞ = 3mΛ + mΣ между массами частиц легчайшего барионного

октета. У таких мультиплетов средняя масса настолько больше разностей масс частиц внутри мультиплета, что не имеет значения, применяется ли соотношение для самих масс, или для их квадратов.