Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Из масссовых формул (19.7.20) можно вывести формулы для отношения масс кварков через массы пионов и каонов 37:

(19.7.22)

Подставляя значения mπ+ = 139,57 ÌýÂ, mπ0 = 134,974 ÌýÂ, mK+ = 493,65 ÌýÂ è mK0 = 497,7 МэВ, находим отношения md/ms = 0,050

è mu/ms = 0,027. Таким образом, отношение масс d и u кварков ближе к 2, чем к 1. (Расчет38à, проведенный в 1996 году с использованием других осколков информации, а также масс псевдоскалярных мезонов, дал значения: md/ms = 0,053 ± 0,002 è mu/ms = = 0,029 ± 0,003.)

Ни одно из этих соотношений не позволяет установить массы отдельных кварков. На самом деле, эти массы определены не слишком хорошо до тех пор, пока мы не определим рецепт перенормировки для билинейных форм кварков. Часто это предписание оформляется так, что ms равно разности масс между отличающимися на единицу странности изомультиплетами внутри некоторого SU(3) мультиплета. Например, легчайший октет векторных мезонов состоит из: изотопического дублета K* массой 892 МэВ, интерпретируемого как связанное состояние антикварка`s и кварков u или d; отвечающего ему антидублета, состоящего из s и`u èëè`d; мезонов ρ с Т = 1 массой 770 МэВ и ω с Т = 0 массой 783 МэВ, интерпретируемых как связанные состояния`u èëè`d и u или d. Если мы хотим приписать разницу между массой K* и средней массой ρ è ω относительно боль-

шой массе s-кварка, то следует1 отнормировать1 билинейную форму

кварков так, чтобы ms – (mu + md) = mK* – (mρ + mω) = 120 ÌýÂ,

откуда ms = 125 МэВ. С учетом полученных выше отношений масс кварков получаем md = 6,0 ÌýÂ è mu = 3,3 МэВ. Однако эти оценки значений масс намного менее достоверны, чем значения отношений масс (19.7.22). Часто значение ms оценивается38b равным не 125, а 180 МэВ.

Массовое слагаемое (19.7.12) включает мезон-мезонные взаимодействия. Используя соотношения (19.7.14), (19.7.11) и (19.7.9), можно записать чисто бозонную часть этого слагаемого в лагранжиане в виде

Вид этого слагаемого можно вывести из основанных на симметрии общих соображений, которые позволяют также найти разрешенные слагаемые более высокого порядка по Mq. Предположим, что мы включаем внешнее 3 × 3 ïîëå χ, и заменяем массовое слагаемое

(19.7.12) в основополагающем лагранжиане квантовой электродинамики на слагаемое с взаимодействием χ с кварками

Это слагаемое становится таким же, как в (19.7.12), после замен χ = χ† = Mq. Смысл этой процедуры в том, что лагранжиан (19.7.24) становится формально инвариантным относительно SU(3) × SU(3),

если потребовать для c выполнения формального закона преобразования

Таким образом, мы можем получить разрешенные бозонные слагаемые, включающие массы кварков, записав самый общий SU(3) ×

SU(3) лагранжиан (до определенного заданного порядка по производным и по Mq), содержащий U и χ, и требуя также инвариантно-

сти по отношению к преобразованию четности

и производя затем замены

Например, взаимодействие Tr(U†χ + Uχ†) инвариантно относительно преобразований SU(3) × SU(3) и четности и принимает тот же

вид, что и (19.7.23), если придать c значения (19.7.27).

Используя эту технику, Гассер и Лейтвилер 39 записали полный эффективный лагранжиан для псевдоскалярного октета

четвертого порядка по импульсам или массам мезонов (считая кварковые массы второго порядка по массам мезонов) в виде:

ãäå L1, ..., L8 являются константами, которые следует определять из эксперимента. Полный эффективный лагранжиан до четвертого порядка по массам мезонов и импульсам равен

ãäå L2 — сумма слагаемых (19.7.10) и (19.7.23):

Сюда можно включить электрослабые взаимодействия, заменив производные ∂μ на соответствующие калибровочно-ковариантные производные Dμ и добавив несколько дополнительных слагаемых в Lýôô.

Следуя тем же, основанным на подсчете степеней аргументам, что и в разделах 19.5 и 19.6, мы должны для вычисления матричных элементов S-матрицы до четвертого порядка по массам мезонов и импульсам включить как древесные диаграммы во всех порядках в L2 и в первом порядке в L4, так и однопетлевые диаграммы, построенные только из L2. Используя этот лагранжиан, Гассер и Лейтвилер и др. 40 провели тщательное изучение мезонной динамики (и связанных с ней электрослабых взаимодействий).

* * *

Слагаемое с кварковыми массами (19.7.12) естественно оказывает влияние на другие SU(3) мультиплеты. Для любого мультиплета, кроме псевдоскалярного октета, это влияние можно рассматри-

вать как возмущение первого порядка, так что сдвиг массовой матрицы произвольного мультиплета |iñ равен

Используя это соотношение вместе с (19.7.22), можно полу- чить вклад кварковых масс в разность масс нуклонов dmp – dmn »

–2,5 МэВ. Этот результат можно подставить в соотношения (19.5.65) и (19.5.66), чтобы вычислить ведущие нарушения изоспиновой симметрии в низкоэнергетических пион-нуклонных взаимодействиях. Конечно, определенная здесь разность dmp – dmn не является пол-

ной разностью масс протона и нейтрона, так как в нее вносит кроме того важный вклад испускание и поглощение фотона. Так как нейтрон электрически нейтрален, это электромагнитное слагаемое по- чти наверняка положительно, в согласии с тем фактом, что наблюдаемая разность масс протона и нейтрона равна –1,3 МэВ, так что электромагнетизму следует приписать +1,2 МэВ. К сожалению, аккуратное вычисление этой электромагнитной разности масс столкнулось с трудностями.

19.8. Аномальные члены в эффективных теориях поля*

Для того, чтобы применить описанную в трех предыдущих разделах программу эффективной теории поля, необходимо, чтобы действие содержало все возможные слагаемые, разрешенные предполагаемыми симметриями теории. Описанные в этих разделах методы позволяют идентифицировать все явно инвариантные слагаемые, либо используя изложенный в разделе 19.6 общий формализм ковариантных производных, либо, в случае киральных симметрий,

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.