Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 5179

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

20.6. Глубоконеупругое рассеяние

369

двух d-кварков плюс любое число нейтральных партонов, то с учетом выражений (20.6.11) и (20.6.6) получается правило сумм для W2:

X∞

dw

= å Qi2

R1,

p,

Y

F2

(w)

= S

(20.6.13)

w

Z1

i

T2 3,

n.

Большой вклад в интеграл дают большие значения W, т. е. область, в которой функция F2 измеряется с трудом. Если мы предположим также, что полный импульс нуклона распределен между тремя кварками в равных долях (и отсутствуют нейтральные партоны), то вместо выражения (20.6.7) получим более сильное соотношение z Fi (x)xdx = 1 / 3 для каждого кварка, и тогда с учетом соотно-

шения (20.6.11) получим:

X

∞

dw

1

å Qi2

R1 3 , p,

Y

F2 (w)

=

= S

w2

Z1

3

i

T2 9,

n.

Этот интеграл легче измерить, и оказывается, что результат резко противоречит правилу сумм, откуда можно сделать вывод, что большая доля импульса нуклона переносится нейтральными партонами.

Ничто в описанном выше феноменологическом подходе не зависит от конкретной теории поля. В конечном итоге именно операторное разложение указало метод применения лежащей в основе теории поля к глубоконеупругому рассеянию. В частности, благодаря операторному разложению стало ясно, что для объяснения гипотез о скейлинге (20.6.5) (и вычисления поправок к скейлинговому поведению) необходима асимптотически свободная теория поля. Такой теорией в конце концов оказалась квантовая хромодинамика.

Чтобы применить операторное разложение к глубоконеупругому рассеянию, совершим сначала фурье-преобразование выражения (20.6.1). Используя трансляционную инвариантность и полноту адронных состояний |Hñ, получим:

dmN

pN0

iWmn (q, p) º

1

å z dz e-iq×z áN| Jn (z)Jm (0)| Nñ.

2(2p)

4

sN

(20.6.14)

370

Глава 20. Операторные разложения

Поэтому асимптотическое поведение Wμν(q, p) ïðè q ® ¥ связано с сингулярностью оператрного произведения при z ® 0.

Вычисление коэффициентных функций в операторных разложениях с помощью фейнмановских диаграмм относится непосредственно не к разложению матричных элементов типа тех, которые возникли в выражении (20.6.14) для Wμν, а к матричным элементам

двухточечной функции Грина

dmN

pN0

iTmn (q, p) º

1

å z dz e-iq×z áN| T{Jn (z)Jm (0)}| Nñ. (20.6.15)

2(2p)

4

sN

Это можно записать через структурные функции для Tμν, опреде-

ленные по аналогии с (20.6.2):

Tmn

(q, p) = -

F qmqn

- hmn

I

T

(n, q2 )

G

J

2

q

1

H

K

+

1

F pm -

p × q

qm I F pn -

p × q

qn I

T

(n, q2 ), (20.6.16)

2

G

q

2

J G

q

2

J

2

mN

H

K H

K

Связь между Tr(n, q2) è Wr(n, q2) (r = 1, 2) устанавливается 13 ñ

помощью дисперсионных соотношений * при фиксированном q2:

T

(n, q2 ) =

1

W

(-n, q2 ) +

1

W

(n, q2 )

r

2

r

2

r

X¥

+

1

dn¢

Wr

(-n¢, q2 ) - Wr (n¢, q2 )

(20.6.17)

Y

,

n¢ - n

2pi Z-¥

где знаменатель в подынтегральном выражении понимается в смысле главного значения. Функции Wr(n, q2) обращаются в нуль за исклю- чением области n > q2/2mN, так что дисперсионные соотношения

можно переписать в виде

* Ïðè q2 = 0 эти соотношения можно вывести точно, как и при выводе дисперсионного соотношения (10.8.16) для фотонного рассеяния вперед. Вывод при фиксированном q2 ¹ 0 более сложен.

20.6. Глубоконеупругое рассеяние

371

T (n, q2 ) =

1

W

(-n, q2 ) +

1

W (n, q2 )

r

2

r

2

r

X∞

+

1

dn¢ Wr (n¢, q

2

F

1

+

1 I

(20.6.18)

Y

) G

J .

2pi Zq2 2m

N

H n¢ + n

n¢ - nK

Операторы, дающие вклад в операторное разложение для Tr, можно расклассифицировать в соответствии с неприводимыми представлениями группы Лоренца, которым они принадлежат. Единст-вен- ные лоренц-ковариантные функции одного 4-вектора pμ с фиксированным p2 = -mN2 пропорциональны симметричным тензорам pμ1 . . . pμs , так что единственными операторами, которые могут

давать вклад в усредненное по спинам среднее по нуклонным состояниям, являются симметричные бесследовые тензоры Osiμ1 ...μs , ãäå

нижний индекс i отличает друг от друга любые операторы с такой тензорной структурой. (По причинам, которые станут ясными ниже, мы используем для различения операторов тот же индекс i, который применялся в партонной модели для обозначения типа партонов.) Матричные элементы этих операторов имеют вид

1

å áN| Osiμ1 ...μs | Nñ = dmN pN0 i

pμ1 . . . pμs - следы

áOsi ñ, (20.6.19)

2

σN

ãäå áOsiñ — постоянные коэффициенты. Подобный оператор дает в Tμν(q, p) вклад, пропорциональный s множителям 4-вектора p, и поэтому дает вклад в T1(n, q2) è T2(n, q2), пропорциональный соответственно ns è ns−2. (Мы опустили слагаемые, включающие p2, поскольку такие слагаемые подавлены множителями mΝ2/q2 èëè mN2/(p•q).) Если пренебречь логарифмическими поправками, то в асимптотически свободной теории зависимость коэффициентов от q2 имеет вид (q2)(−4+6−d(s,i)−s)/2 è (q2)(−4+6−d(s,i)−s+2)/2, соответственно, где d(s, i) — размерность оператора Osi *. Учитывая, что n µ q2w, ïîëó-

чаем, что вклады оператора Osi в структурные функции асимптоти- чески имеют вид

* Степень –4 в показателях возникает от интеграла по z в выражении (20.6.4), а степень +6 есть арзмерность двух операторов электрического тока. Члены –s/2 и –(s–2)/2 служат для компенсации степеней qμ, уже имеющихся в νs è νs–2 соответственно.

372

Глава 20. Операторные разложения

T

νs (q2 )(2−d(s,i) −s) 2 ωs−1(q2 )(2− τ(s,i) 2

(20.6.20)

1,si

è

νs−1(q2 )(4−d(s,i)−s) 2 ωs−1(q2 )(2− τ(s,i) 2 ,

νT

(20.6.21)

2,si

ãäå τ(s, i) — «твист» оператора Osi, определенный как 14

τ(s, i) ≡ d(s, i) − s.

(20.6.22)

Видно, что доминирующие слагаемые в Т

è νÒ ïðè q2

→ 0 ïðè

1

2

фиксированном W определяются вкладами операторов минимального твиста. Кроме того, из выражения (20.6.18) следует, что в Tr(ν, q2) не содержатся слагаемые нечетной степени по ν, òàê ÷òî ñþäà

могут давать вклад только операторы Osi с четным s. Симметричные бесследовые тензоры ранга s минимальной раз-

мерности — это операторы

(O

sf

)

μ

...μ

≡

d

is−2 s!

ψ

f

γ

{μ

D↔

. . . D↔

ψ

f

(20.6.23)

s

i

1

μ

2

μ

}

1

s

è

(Os0 )μ1 ...μs

≡ di

s

−2

↔

↔

ν

2s!iFαν{μ1 Dμ3 . . . Dμs

Fα μ2 }

,

(20.6.24)

где f отмечает сорта кварков, Dμ — калибровочно инвариантная

производная, а фигурные скобки означают сумму по перестановкам и вычитание следов по заключенным в скобки пространствен- но-временным индексам. (Символ ↔ означает полуразность про-

изводных, действующих направо и налево. Мы берем разность производных, поскольку их сумма должна исчезать в любом матричном элементе между состояниями с равными 4-импульсами.) Эти операторы имеют размерность 3 + (s − 1) = 4 + (s − 2) = 2 + s, так что их твист τ = 2. Таким образом, при q2 → ∞ â Ò1 è Ò2 äàåò

вклад бесконечное число операторов, причем эти вклады зависят от W и только логарифмически от q2. Итак, асимптотическая свобода подтверждает бьеркеновский скейлинг, но только с точностью до логарифмических поправок. Удерживая только операторы твиста два, видим (как это и следует из наших обозначений), что для каждого s действительно имеется один оператор для каждого типа партонов, причем i принимает значения, отвечающие квар-

Смотрите также файлы