ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 5175
Скачиваний: 6
360 |
Глава 20. Операторные разложения |
||||||||||||||||||
áVAC| Jαμ (0)| Ba |
ñ = |
iFαap |
Bμ |
. |
(20.5.9) |
||||||||||||||
(2p)3 2 |
2p0B |
||||||||||||||||||
Используя соотношение δ |
(p |
0 − |
| p| ) / 2p |
0 |
= θ |
(p |
0 |
) |
δ |
− |
p |
2 |
) , |
, видим, что |
|||||
( |
|||||||||||||||||||
ρ(0)αβ (−p2 ) = δ(−p2 )å FαaFβ*a . |
(20.5.10) |
||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||
Напротив, ρ(αβ1) (−p2 ) отлична от нуля только при -p2 > 0.
Более конкретно, рассмотрим перенормируемую асимптоти- чески свободную калибровочную теорию с N безмассовыми (или по- чти безмассовыми) фермионами спина 1/2, принадлежащими одному представлению калибровочной группы. Квантовая хромодинамика подходит под это описание в случае N = 3, если пренебречь массами u, d, и s-кварков, и в случае N = 2, если считать безмассовыми только u и d-кварки. Как мы видели в гл. 19, такая теория обладает глобальной SU(N) ´ SU(N) симметрией *, под действием преобразований которой левые и правые компоненты полей легких фермионов преобразуются соответственно по представлениям (N, 1) и (1, N), где ‘N’ и ‘1’ соответственно означают определяющее и тождественное представления SU(N).
Токи левой и правой SU(N) симметрий равны
JLaμ (x) = -iy(x)g μ (1 + g 5 )lay(x), JRaμ (x) = -iy(x)g μ (1 - g 5 )lay(x),
(20.5.11) ãäå la образуют полный набор эрмитовых бесследовых матриц, дей-
ствующих на индекс «аромата», отличающий N легких кварков друг от друга (ср. формулы (19.7.2) для случая N = 3). Размерность этих токов (в степенях массы) равна +3, так что можно ожидать, что (с точностью до логарифмов) коэффициент при операторе O размерно-
* Существует еще симметрия U(1), являющаяся векторной в том смысле, что она действует одинаково на левые и правые компоненты полей легких фермионов. Это соответствует просто сохранению числа легких кварков, так что эта симметрия не будет нас здесь интересовать. Аксиальная U(1) симметрия лагранжиана, действующая по-разному на левые и правые компоненты полей легких фермионов, нарушена квантовыми эффектами, обсуждаемыми в разделе 23.5.
20.5. Правила сумм для спектральных функций |
361 |
стью d(O) в разложении (20.3.6) произведения двух токов будет иметь сингулярность порядка x−6+d(O) при стремлении к нулю разности их
аргументов x. Отсюда, если разложение линейной комбинации произведения токов содержит единичный оператор, то соответствующая линейная комбинация спектральных функций ведет себя как x−6 и поэтому в общем случае не удовлетворяет ни первому, ни
второму правилу сумм для спектральных функций. Если оператор наименьшей размерности в вакуумном среднем этого разложения — фермионный билинейный ковариант не более чем с одной производной, тогда соответствующие линейные комбинации спектральных функций ведут себя как x−3 èëè x−2 и поэтому удовлетво-
ряют первому правилу сумм для спектральных функций, но, в общем случае, не удовлетворяют второму. Наконец, если оператор наименьшей размерности в вакуумном среднем этого разложения
— фермионный билинейный ковариант с двумя и более производными или четырехфермионный ковариант, то сингулярность соответствующей линейной комбинации спектральных функций слабее, чем x−2, и поэтому эта комбинация удовлетворяет как первому, так
и второму правилу сумм для спектральных функций.
Для того, чтобы узнать, какие операторы возникают в разложении произведения двух токов, необходимо расклассифицировать представления SU(N) × SU(N), содержащиеся в произведении, а
чтобы установить, имеют ли эти операторы ненулевые вакуумные средние, следует узнать, какие из них инвариантны относительно преобразований спонтанно ненарушенной подгруппы SU(N) × SU(N).
Чтобы дать ответ на эти вопросы, заметим, что токи Jμ (x) è
μ La
JRa (x) преобразуются по представлениям (A, 1) и (1, А) группы SU(N) × SU(N), где А и 1 — присоединенное и тождественное пред-
ставления группы SU(N).
Кроме того, предположим, что спонтанно ненарушенная подгруппа SU(N) × SU(N) — это векторная подгруппа SU(N)V с токами JLaμ (x) + JRaμ (x) , как в случае квантовой хромодинамики и (как мы
видели в разделе 19.9) большого числа других теорий. Предположим также, что сохранение четности спонтанно не нарушается. Как следствие существования указанных ненарушенных симметрий имеем:
ρ(La1) |
,Lb(μ2 ) = ρ(Ra1) |
,Rb(μ2 ) = δab |
ρ(V1) (μ2 ) + ρ(A1) (μ2 ) |
(20.5.12) |
362 Глава 20. Операторные разложения
è
r(La1) |
,Rb(m2 ) = r(Ra1) |
,Lb(m2 ) = dab |
r(V1) (m2 ) - r(A1) (m2 ) |
, |
(20.5.13) |
ãäå δabρ(V1) (μ2 ) è δabρ(A1) (μ2 ) — спектральные функции, определенные |
|||||||||
формулой (20.5.2) для токов |
|||||||||
JVaμ = -iyg μlay , JAaμ |
= -iyg μ g 5lay |
(20.5.14) |
|||||||
с генераторами la è lag5, соответственно. Кроме того, |
|||||||||
FLab = −FRab = δabF , |
(20.5.15) |
||||||||
и формула (20.5.9) имеет в данном случае вид |
|||||||||
μ |
iFdabpBμ |
||||||||
áVAC| JAa (0)| Bb ñ = |
, |
(20.5.16) |
|||||||
(2p)3 2 2p0B |
|||||||||
так что формула (20.5.10) принимает вид |
|||||||||
r(La0) |
,Lb(m2 ) = r(Ra0) |
,Rb (m2 ) = -r(La0) |
,Rb (m2 ) = -r(Ra0) |
,Lb(m2 ) = F2d(m2 )dab .(20.5.17) |
|||||
Удобно рассмотреть отдельно произведения токов с одинаковой и разной спиральностями.
JRaμ |
Одинаковая спиральность. Произведения JLaμ (x)JLbν (0) è |
(x)JRbν (0) преобразуются соответственно по представлениями |
|
(A ´ A, 1) è (1, A ´ A) группы SU(N) ´ SU(N), где А и 1 — присоеди- |
|
ненное и тождественное представления, соответственно. Для любой группы произведение А ´ А содержит тождественное представле-
ние, так что в разложениях этих произведений возникает единич- ный оператор с одинаковыми коэффициентами, пропорциональными dab. Отсюда, только бесследовые части операторного произведения
могут удовлетворять правилам сумм для спектральных функций. Но, как мы видели, у спектральных функций нет бесследовых частей, так что спектральные функции произведения операторов с одинаковой спиральностью не могут удовлетворять ни одному правилу сумм.
Разная спиральность. Оба произведения Jμ (x)Jν (0) è
μ La Rb
JRa (x)JLbν (0) преобразуются по представлению (А, А) группы SU(N)