20.6. Глубоконеупругое рассеяние |
373 |
ковым ароматам f (мы объединяем кварки и антикварки), а также значение i = 0, отвечающее глюону.
Рассмотрим теперь логарифмические поправки. Асимпототи- ческие поведение коэффициентных функций в асимпототически свободной теории определяется выражением (20.3.9). Как обсуждалось в разделе 10.4, если мы пренебрегаем электромагнитными радиационными поправками, для электромагнитного тока не нужны никакие перенормировочные множители, поскольку эти токи сохраняются. Следовательно матрица cll′ в формуле (20.3.9) обращается в нуль. Матрица cO,O ′ не имеет элементов, связывающих операто-
ры разного типа по отношению к преобразованиям Лоренца, так что в используемых сейчас обозначениях csi,s′i′ = δss′cii′ (s) . Таким
образом, выражение (20.3.9) принимает вид
T1(n, q2 ) ®
nT2 (n, q2 ) ®
å wsAsi LMdgq2
sij N
å ws−1Bsi LMdgq2
sij N
2 |
8π2c(s) b O |
áOsj ñ, |
gl |
i |
|
P |
|
|
|
Qij |
|
|
2 |
i |
8π2c(s) b O |
áOsj ñ, |
gl |
P |
|
|
|
Qij |
где A и B — константы, возникающие в коэффициентной функции для оператора Osi в операторном разложении произведения двух электрических токов, l2 — конкретное значение q2, выбранное для определения коэффициентных функций, b — константа в ренормгрупповом уравнении однопетлевого приближения (20.3.8) для сильной константы связи gq, áOsiñ — постоянный коэффициент в матрич-
ных элементах (20.6.19).
Коэффициенты операторного разложения не зависят от конкретного рассматриваемого процесса, и на них не влияет невылетание кварков, так что можно вычислить коэффициенты Asi è Bsi, рассматривая фиктивный более простой процесс рассеяния электрона на свободном кварке аромата f. Перенормированные операторы Osi можно удобно определить так, что однокварковые матричные элементы операторов (20.6.23) и (20.6.24) задаются в древесном приближении:
|
áf¢, s¢| Osf |
| f¢¢, s¢¢ñ = |
(-1)s i |
d |
|
¢g {μ1 uipμ2 . . . pμs }dff′dff′′ , |
(20.6.27) |
|
u |
|
|
|
|
|
s! |
|
|
|
áf′, s′| Os0 | f′′, s′′ñ = 0. |
(20.6.28) |
374 |
Глава 20. Операторные разложения |
Усредняя выражение (20.6.27) по s¢ = s¢¢ и сравнивая результат с
выражением (20.6.19), получаем:
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1) |
s |
|
|
RF -ip + m |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
U |
áOsf |
ñf′ |
|
|
f |
|
μ |
|
μ |
|
|
μ |
|
= dff′ |
i |
| |
|
/ |
|
f |
|
g |
{μ |
|
μ |
|
|
μ |
} | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
1 p |
|
2 |
. . . p |
|
s |
|
|
|
TrS |
|
|
|
|
J |
|
1 p |
|
2 |
. . . p |
s |
V , |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2s! |
|
|
G |
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|H |
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
так что (для четных s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
áOsf ñf′ |
= d ff′ |
mf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20.6.29) |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
áOs0 ñf ′ |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20.6.30) |
При таком определении операторов Osi, выбирая масштаб импульсов l2 в точке перенормировки достаточно большим, чтобы функции в операторном разложении можно было вычислить в древесном приближении, можно вывести вид этих функций из формул древесного приближения для сечения электрон-кваркового рассея-
ния. Прослеживая вывод выражений (20.6.9) и (20.6.10) в партонной модели, видим, что функции Wr для рассеяния электрона на кварке сорта f определяются в древесном приближении формулами *
nW2, f |
= dmN mf iQ2fd(w - 1) , |
(20.6.31) |
W |
|
= Q2d(w - 1) 2m |
f |
. |
(20.6.32) |
1, f |
f |
|
|
Подставляя эти результаты в дисперсионные соотношения (20.6.18), получаем при w ¹ 1
T1,f |
= |
Q2f |
|
mN |
|
1 |
|
, |
(20.6.33) |
2pimf |
|
mf |
|
w2 - 1 |
|
|
|
|
|
* В выражение (20.6.31) включен множитель (mN/mf), поскольку величи- на ν определена как −(q•p)/mN, à íå êàê −(q•p)/mf, в то время как в (20.6.2)
входит W2/mN2, à íå W2/mf2. Тогда формула (20.6.32) следует из (20.6.10). Величину W можно записать в виде, не зависящем от масс: W = −2(q•p)/q2.
20.6. Глубоконеупругое рассеяние |
|
|
|
|
375 |
nT2,f |
= |
2Q2f |
|
w2 |
(20.6.34) |
|
|
|
, |
2pi |
|
|
|
|
w2 - 1 |
|
Эти результаты можно непосредственно получить с помощью фейнмановских диаграмм для электрон-кваркового рассеяния. Сравнивая коэффициенты при ws в выражениях (20.6.33) и (20.6.34) с соот-
ветствующими коэффициентами в выражениях (20.6.25) и (20.6.26) в точке перенормировки q2 = l2, и пользуясь формулами (20.6.29) и (20.6.30), находим, что
|
Asi |
= |
iQi2 |
, |
Bsi |
= |
imNQi2 |
, |
(20.6.35) |
|
2p |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
где, конечно, заряд глюонов Q0 взят равным нулю. Повторим, что несмотря на то, что эти значения выведены для электрон-кварко- вого рассеяния, Asi è Bsi являются множителями в операторном разложении двух электрических токов, и поэтому они не зависят от состояния, по которому вычисляется среднее значение этого операторного произведения. Поэтому можно подставить выражение (20.6.35) в формулы (20.6.25) и (20.6.26) и получить:
T1(n, q2 ) ® |
i |
å wsQi2 Ldgq2 |
gl2 i8π2c(s) b O |
áOsj ñ, |
|
(20.6.36) |
|
|
|
|
|
|
|
2p sij |
M |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
Qij |
|
|
|
|
nT2 (n, q |
2 |
|
® |
imN |
å w |
s−1 2 L |
2 |
2 |
|
8π2c(s) b O |
áOsj |
ñ, |
|
|
) |
|
|
|
Qi |
dgq |
gl |
i |
|
P |
(20.6.37) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p sij |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
Qij |
|
|
|
Вернемся, наконец, к структурным функциям Wr(n, q2). Заметим, что коэффициент при ws = (2mNn/q2)s â Tr(n, q2) дается выражением
(20.6.18) â âèäå
-2 F |
q2 I s X∞ |
− − |
|
|
G |
|
J |
Y |
dn¢n¢ 1 |
sWr (n¢, q2 ) = |
|
|
2pi H 2mN K |
Zq2 2m |
N |
|
|
|
|
|
|
|
i X∞ |
− − |
|
F wq2 |
|
Y |
dww 1 |
sWr |
|
|
|
G |
|
Y |
|
|
p Z1 |
|
|
H 2mN |
Сравнивая с формулами (20.6.36) и (20.6.37), находим:
X∞ dww−1− sW1F |
wq2 |
, q2 I |
® |
1 |
å Qi2 Ldgq2 |
gl2 i8π2c(s) b O |
áOsj ñ, (20.6.38) |
|
|
Y |
G |
|
J |
|
|
M |
P |
|
Z1 |
H 2mN |
K |
|
2 |
ij N |
Qij |
|
376 |
|
|
|
Глава 20. Операторные разложения |
X∞ dww−snW2 F |
wq2 |
, q2 I |
® mN å Qi2 Ldgq2 |
gl2 i8π2c(s) b O |
áOsj ñ. |
(20.6.39) |
|
Y |
G |
|
J |
M |
P |
|
|
Z1 |
H 2mN |
K |
ij N |
Qij |
|
|
Очевидно, что удовлетворяющие этим уравнениям функции Wr можно записать в виде, аналогичном уравнениям (20.6.9) и (20.6.10) партонной модели:
|
F wq2 |
I |
® å Qi2Fi (1 w, q2 ) , |
|
|
W1G |
|
, q2 J |
(20.6.40) |
|
2mN |
|
H |
K |
i |
|
F wq2 |
I |
|
2m |
N |
å Qi2Fi (1 w, q2 ) , |
|
nW2 G |
|
, q2 J |
® |
|
(20.6.41) |
2mN |
w |
|
H |
K |
|
|
i |
|
ãäå Fi — партонная функция распределения, определяемая теперь уравнением моментов
X1 dx xs−1 |
Fi (x, q2 ) = |
1 |
å Ldgq2 |
gl2 i8π2c(s) b O |
áOsj |
ñ . |
|
|
(20.6.42) |
Y |
|
|
M |
P |
|
|
Z0 |
|
2 |
j N |
Qij |
|
|
|
В частности, видно, что асимптотическая свобода приводит не только к уточноенной версии бьеркеновского скейлинга, но и к соотношению Каллана-Гросса (20.6.12) между W1 è W2.
Альтарелли и Паризи 15 нашли элегантную переформулировку уравнений для моментов (20.6.42), которая стала широко использоваться при изучении глубоконеупругого рассеяния. Заметим, что уравнение (20.6.42) совместно с уравнением ренормгруппы (20.3.8) приводят к дифференциальным уравнениям
|
2 d |
|
X1 |
s−1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
X1 |
s−1 |
|
|
2 |
|
q |
|
|
|
Y dx x |
|
F |
(x, q |
|
) = -g |
q å |
c |
ij |
(s)Y dx x |
|
F |
(x, q |
|
). |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
dq |
Z |
|
i |
|
|
|
|
Z |
|
i |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
j |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
(20.6.43)
Эти уравнения совместно с «начальным» условием в точке перенормировки l2
20.6. Глубоконеупругое рассеяние |
|
|
|
|
|
|
377 |
X1 |
s−1 |
|
2 |
) = |
1 |
áOsi |
ñ, |
|
Y dx x |
|
Fi (x, l |
|
|
(20.6.44) |
|
|
2 |
Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
имеют единственное решение, поэтому их можно использовать вместо уравнений для моментов. Далее, уравнение (20.6.43) удовлетворяется решением дифференциального уравнения для Fi:
|
2 d |
|
|
2 |
|
gq2 |
|
X1 dy |
F xI |
2 |
|
q |
|
|
|
Fi (x, q |
|
) = |
|
|
å Y |
|
Pij G |
|
J Fj (y, q |
|
) , |
|
dq |
2 |
|
4p |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
Zx |
H yK |
|
|
где матричная функция Pij(z) удовлетворяет условиям
1
z0 zs−1 Pij (z)dz = -4p2cij (s).
(Множитель 4p2 выбирается по соглашению.)
Матрица cij(s) была вычислена в квантовой хромодинамике Джорджи и Политцером 16 и Гроссом и Вильчеком 17. Они предположили, что существует N сортов кварков, которые достаточно легки для того, чтобы их можно было считать безмассовыми, а кварки всех других сортов можно считать очень тяжелыми и провести про ним интегрирование, так что этими кварками можно пренебречь во всем за исключением их влияния на величину константы сильного взаимодействия. Результаты, полученные в базисе, определяемом операторами (20.6.23) и (20.6.24), имеют вид
|
|
1 |
R |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
s |
|
1O |
|
N |
U |
|
|
(s) = |
|L |
- |
|
- |
|
|
|
|
|
+ å |
+ |
| |
|
c00 |
|
SM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
C2 V, |
(20.6.47) |
2p2 |
|
|
|
- |
|
|
+ 1)(s + 2) |
|
|
|
|
| |
12 |
|
s(s |
1) |
|
|
|
(s |
t= |
2 |
t |
Q |
|
3 |
| |
|
|
|
|
TN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
cf0 (s) = |
1 |
|
|
L |
1 |
|
+ |
2 |
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 M |
|
|
|
|
P , |
|
|
(20.6.48) |
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
s(s + 1)(s + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N s + 2 |
|
2) Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
C0f (s) = |
|
|
1 |
|
|
|
L |
1 |
|
|
+ |
|
2 |
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 M |
|
|
P , |
|
|
|
|
|
(20.6.49) |
|
|
|
|
|
8p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N s + 1 s(s - 1) Q |
|
|
|
|
|
|
|