21.2. Перенормируемые ξ-калибровки |
403 |
мируемость методом подсчета степеней. В этом разделе мы опишем более широкий класс перенормируемых калибровок, парамет- ризованных произвольной константой ξ, введенный несколь-
ко позднее Фуджикавой, Ли и Санда. 5 В произвольных калибровках кинематический член (21.1.3) в
лагранжиане скалярных полей теории содержит перекрестное слагаемое
i |
å |
∂ |
ϕ′ tα |
A μv |
m |
, |
|
μ |
n nm |
α |
|
nmα
ãäå vm — вакуумное среднее поля ϕm, à ϕ′n — сдвинутое поле,
определенное формулой (21.1.4). В унитарной калибровке это слагаемое исчезает из-за калибровочного условия (21.1.2). Мы предпочтем здесь другой подход, близкий к тому, который использовался в разделах 15.5 и 15.6. Введем в функциональный интеграл функционал B[f], где
|
X |
4 |
|
I |
|
|
xå fα fα J . |
(21.2.1) |
|
Y d |
|
Z |
|
α |
K |
|
Это эквивалентно добавлению в лагранжиан фиксирующего калибровку слагаемого
Lgf = − |
1 |
|
2ξ fα fα . |
(21.2.2) |
Вместо того, чтобы принять fα = ∂μ Aαμ , , как в разделе 15.5, выбе-
рем функцию, которая фиксирует калибровку, в виде
f |
= ∂ |
μ |
Aμ − iξ(t |
α |
) |
nm |
ϕ′ v |
m |
, |
(21.2.3) |
α |
|
α |
|
n |
|
|
Эта функция построена так, что упомянутое выше перекрестное слагаемое в (21.1.3) сокращается с перекрестным слагаемым в (21.2.2). Унитарная калибровка становится теперь частным случаем; при ξ → ∞ фиксирующий калибровку функционал (21.2.1) имеет стремящийся к бесконечности острый максимум при ϕ′, удовлетворяющем
калибровочному условию (21.1.2). Другой частный случай соответствует пределу ξ → 0; в этом случае фиксирующий калибровку
404 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии
функционал имеет максимум при значении калибровочного поля, удовлетворяющего калибровочному условию Ландау ∂μAμα = 0.
Включим также в лагранжиан полином четвертой степени – P(ϕ), подчиняющийся условию калибровочной инвариантности
∂P(ϕ) |
(t |
) |
|
ϕ |
|
= 0 . |
(21.2.4) |
|
nm |
m |
|
α |
|
|
|
∂ϕn |
|
|
|
|
|
|
Конечно, мы должны включить в лагранжиан и слагаемое, описывающее калибровочное поле,
LA |
= − |
1 |
å FαμνFαμν . |
(21.2.5) |
|
|
4 |
α |
|
Тогда полный лагранжиан калибровочных и скалярных полей имеет вид
LA,ϕ ≡ LA + L ϕ + L gf
= − |
1 |
|
å FαμνFαμν |
+ |
1 |
|
|
å (tαϕ)n (tβϕ)n Aαμ Aβμ |
− |
1 |
å (∂μ Aαμ )(∂νAαν ) |
|
|
|
|
2ξ |
|
|
4 |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
2 nαβ |
|
|
|
|
|
|
|
α |
− |
1 |
å |
∂ |
ϕ′ ∂ |
μϕ′ + |
ξ |
|
|
å |
(t v) |
|
(t v) |
ϕ′ ϕ′ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
μ |
n |
|
n |
|
2 |
|
|
|
α |
|
α |
m n m |
|
|
|
|
n |
|
|
|
å |
|
|
|
αnm |
ϕ′ Aμ |
|
|
|
|
|
− P(ϕ) + i |
∂ |
ϕ′ |
(t |
|
) |
nm |
+ полные производные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
n |
|
|
α |
|
m |
α |
|
|
|
|
|
Как мы видели в разделе 15.6, введение фиксирующего калибровку функционала B[f] требует также введения поля гостов ωα(x), лагранжиан которого зависит от свойств fα относительно
калибровочных преобразований. Под действием произвольного калибровочного преобразования (с произвольной функцией εα(x))
δAαμ = −å Cαβγ εβ Aγ μ + ∂μ εα , |
(21.2.7) |
βγ |
|
δϕn = iå εα (tα )nm ϕm , |
(21.2.8) |
α |
|
21.2. Перенормируемые ξ-калибровки |
|
405 |
δfα = 9εα − å Cαβγ ∂μ (εβ Aγμ ) + ξå(tαv)n εβ (tβϕ)n . |
(21.2.9) |
βγ |
nβ |
|
Согласно общим результатам раздела 15.6, это приводит к лагранжиану гостов
L |
|
|
O |
Lω = ω*α M9ωα − å Cαβγ ∂μ (ωβ Aγμ ) + ξå(tαv)n |
ωβ (tβϕ)n P . (21.2.10) |
N |
|
|
Q |
M |
βγ |
nβ |
P |
Наконец, если теория включает фермионы спина 1/2, в лагранжиане должно быть произвольное перенормируемое слагаемое
/ |
(ψ) |
+ m0 + Γnϕn )ψ, |
(21.2.11) |
|
L ψ = −ψ(∂ − iAt/ α |
ãäå tα(ψ) — матричное представление генераторов калибровочной
группы для фермионов (включающее множители с константой связи), а m0 è Γn — постоянные матрицы (в общем случае, ли-
нейные комбинации слагаемых, пропорциональных дираковским матрицам 1 и γ5), удовлетворяющие условиям калибровочной ин-
вариантности:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tα(ψ) , γ 4m0 |
|
= 0, |
(21.2.12) |
|
|
|
|
|
tα(ψ) , γ 4Γn |
|
+ å(tα )mn γ 4Γm = 0. |
(21.2.13) |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
(Множитель γ4 ≡ iγ |
0 |
возникает от определения |
† |
|
“ψ ≡ ψ γ4. Îí ñóùå- |
ствен, только если tα(ψ) включает слагаемые, пропорциональные γ5.) Доказанная в разделах 15.5 и 15.6 общая теорема гарантирует,
что вычисленная по лагранжиану, представленному суммой выражений (21.2.6), (21.2.10) и (21.2.11), S-матрица не зависит от выбора параметра ξ, входящего в фиксирующую калибровку функцию (21.2.3), так что при любом ξ будут получаться те же резуль-таты, что и при выборе ξ = ∞, отвечающем унитарной
калиб-ровке.
Для вывода выражений для пропагаторов всех этих полей нам нужна квадратичная по полям часть лагранжиана
406 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LQUAD |
= − |
1 |
|
å (∂μ Aαν − ∂νAαμ )(∂μ Aαν − ∂νAαμ ) |
|
|
4 |
|
α |
|
|
|
− |
1 |
å μ2αβ Aαμ Aβμ − |
1 |
|
å (∂μ Aαμ )(∂νAαν ) |
|
|
|
|
|
2 αβ |
|
2ξ |
α |
|
− |
1 |
å (∂μϕ′n)(∂μϕ′n) − |
1 |
å Mnm2 ϕ′nϕ′m |
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
2 nm |
|
|
|
|
|
|
* μ |
2 * |
− ψ(∂/ + m)ψ − ∂μωα ∂ ωα − ξå μαβωαωβ
αβ
+ полные производные,
где — массовая матрица векторных бозонов (21.1.7):
μ2αβ = −å (tαv)n (tβv)n ,
n
à M2nm и m — новые скалярная и фермионная массовые матрицы:
|
Mnm2 = |
∂2P(ϕ) |
|
|
|
− |
ξ |
å(tαv)n (tαv)m, |
|
∂ϕn∂ϕm |
|
|
|
|
|
|
ϕ =v |
|
2 α |
|
|
|
(21.2.16) |
|
m = m0 + å Γnvn . |
|
|
|
|
n
Как видно из (21.2.14), госты имеют зависящие от калибровки массы, равные ξ , умноженному на соответствующие массы вектор-
ных бозонов.
Эти выражения определяют массы частиц в нулевом порядке теории возмущений. В этом порядке среднее по вакууму vn есть просто положение минимума полиномиального «потенциала» P(ϕ):
∂P(ϕ) |
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
(21.2.17) |
∂ϕn |
|
ϕ =v |
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, как мы уже видели в разделе 19.2, из выражений (21.2.4) и (21.2.17) следует, что