ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 5160
Скачиваний: 6
412 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии
Wμ* = |
1 |
(Aμ − iAμ ), |
(21.3.13) |
|||
2 |
1 |
2 |
||||
и двух электрически нейтральных полей массами mZ и нуль соответственно, которые даются ортонормированными линейными комбинациями полей A3μ è Bμ:
Zμ = cos θ Aμ + sin θ Bμ , |
(21.3.14) |
||
3 |
|||
Aμ = − sin θ Aμ + cos θ Bμ |
, |
(21.3.15) |
|
3 |
|||
или, эквивалентно, |
|||
Aμ |
= cos θ Zμ − sin θ Aμ , |
(21.3.16) |
|
3 |
|||
Bμ |
= sin θ Zμ + cos θ Aμ . |
(21.3.17) |
|
Согласно общему результату (21.1.11)–(21.1.12), генератор ненарушенной симметрии, которой в данном случае является электромагнитная калибровочная инвариантность, дается линейной комбинацией генераторов, коэффициенты в которой — те же, что и коэффициенты при соответствующем безмассовом поле в разложении канонически нормированных калибровочных полей, связанных с этими генераторами. Взглянув на формулы (21.3.16) и (21.3.17), видим, что
q = - |
q × t3 + |
q × y |
(21.3.18) |
||
sin |
cos |
. |
Сравнивая это выражение с выражением (21.3.9), получаем поэтому
g = − |
e |
, g′ = − |
e |
. |
(21.3.19) |
|
sin θ |
cos θ |
|||||
Введя константы связи g и g′, можно записать теперь полное взаи-
модействие лептонов с калибровочными бозонами в виде
F |
νe I |
L |
O F |
νe I |
= |
|
iLe′ = −G J Må A/ |
αtα P G J |
|||||
H |
e K N α |
Q H |
e K |
|||
414 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии
(ϕ) |
e |
(ϕ) |
e (ϕ) |
F 1 |
0I |
||||||
q |
= |
t3 |
- |
y |
= eG |
J . |
(21.3.24) |
||||
g |
g¢ |
||||||||||
H |
0 |
K |
|||||||||
0 |
|||||||||||
Возможно, что в теории имеются и другие скалярные мультиплеты, но пока что предположим, что такой мультиплет единственен.
Необходимо добавить в лагранжиан слагаемые, содержащие скалярное и калибровочное поля. Наиболее общий лагранжиан, совместимый с SU(2) ´ U(1) калибровочной инвариантностью, ло-
ренц-инвариантностью и перенормируемостью, имеет вид
1 |
r r |
(ϕ) - iBμ y(ϕ) )j |
2 - |
m |
2 |
l |
|||||||
Lϕ |
= - |
(¶μ - iAμ × t |
j†j - |
(j†j)2 , (21.3.25) |
|||||||||
2 |
2 |
4 |
|||||||||||
ãäå l > 0 è |
|||||||||||||
F |
+ I |
||||||||||||
j º G j |
0 J . |
(21.3.26) |
|||||||||||
H j |
K |
||||||||||||
Ïðè m2 < 0 в стационарной точке лагранжиана полученное в дре-
весном приближении среднее по вакууму равно
ájñ† ájñ º v2 = |
| m2 |
| |
. |
(21.3.27) |
l |
||||
Мы всегда можем совершить SU(2) ´ U(1) калибровочное преобразование над полями в унитарной калибровке, в которой j+ = 0, à j0 — эрмитово поле с положительным вакуумным средним. (Именно поэтому мы нормировали комплексный дублет j òàê, ÷òî 1â êèíå-
тическом члене в (21.3.25) появился необычный множитель ; единственным физическим скалярным полем является Rej0, òàê ÷òî â
лагранжиан (21.3.25) это поле входит с канонической нормировкой.) Вакуумные средние компонент j в унитарной калибровке равны
áj+ ñ = 0, áj0 ñ = v > 0. |
(21.3.28) |
В результате в скалярном лагранжиане (21.3.25) возникают массовые члены векторных мезонов
1 |
r r(ϕ) |
(ϕ) |
2 |
1 |
F g r r |
g¢ |
I F |
0I |
2 |
||||||||
- |
(Aμ × t |
+ Bμ y |
)ájñ |
= - |
G |
Aμ × t - |
Bμ J G |
J |
= |
||||||||
2 |
2 |
H |
2 |
2 |
K H vK |
||||||||||||
21.3. Электрослабая теория |
415 |
|||||||||||||||
= − |
v2g2 |
Wμ†Wμ − |
v2 |
(g2 + g′2 )ZμZμ . |
(21.3.29) |
|||||||||||
4 |
8 |
|||||||||||||||
Как и ожидалось, масса фотона равна нулю, в то время как W± è |
||||||||||||||||
Z0 приобретают массы |
||||||||||||||||
m |
= |
v| g| |
, |
m |
= |
v g2 + g′2 |
. |
(21.3.30) |
||||||||
W |
Z |
|||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||
Кроме того, из выражений (21.3.21( и (21.3.28) видно, что электрон приобретает в низшем порядке массу
me = Gev. |
(21.3.31) |
Изучение реакций между лептонами только электронного типа затруднительно, хотя к настоящему времени уже есть данные о процессе рассеяния`νe + e– → `νe + e–. Для получения высокоточ-
ных данных нужно рассмотреть реакции, включающие по меньшей мере лептоны мюонного типа, например, хорошо изученный процесс распада мюона μ+ → e+ + νe +`νμ. Описанная выше модель
тривиально обобщается так, чтобы она включала лептоны мюонного типа, — для этого нужно просто добавить в лагранжиан слагаемые Lμ è Lϕμ, аналогичные последним слагаемым в (21.3.11) и (21.3.21), заменив поля e и νe на поля мюона μ– и мюонного нейтрино νμ, à Ge — íà Ge(mμ/me). Рассмотрение выражения (21.3.20) и соответствующего слагаемого с заменой e и νe íà μ è νμ показыва-
ет, что обмен W между лептонами электронного и мюонного типов при низких энергиях порождает эффективное взаимодействие
F |
g I 2 |
1 |
F |
λ F 1 |
+ γ 5 I |
I F |
F 1 |
+ γ 5 I |
I |
||||||||||||
G |
J |
m |
2 |
G eγ |
G |
J |
νeJ G |
νμ γ λ G |
J |
μJ |
+ ý. ñ. |
(21.3.32) |
|||||||||
H |
2 K |
W |
H |
H |
2 K |
K H |
H |
2 K |
K |
||||||||||||
Это можно сравнить с взаимодействием в эффективной «V–A теории», которая, как известно, хорошо описывает распад мюона:
G |
F |
d |
γ λ (1 + γ |
5 )νe i dνμ γ λ (1 + γ 5 )μi + ý. ñ. |
(21.3.33) |
|||
e |
||||||||
2 |
||||||||
Здесь GF — обычная фермиевская константа связи, значение которой GF = 1,16639(2) × 10–5 Ãý–2 известно из вероятности распа-
да мюона. Сравнивая два выражения, находим: