Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

426 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Мы ожидаем, что fij будет порядка 1/М, возможно, умноженной на малые константы связи, так что отсюда получаем несохраняющие лептонное число массы нейтрино самое большее порядка 27á (300 ÃýÂ)2/М. В разделе 21.5 мы увидим, что значение М ожидается порядка 1015–1018 ГэВ, так что можно ожидать массы нейтрино в интервале 10–4–10–1 эВ или менее, если есть дополнительное подавление малыми константами связи. Такие массы слишком малы, чтобы их можно было непосредственно наблюдать, однако нет никаких причин, по которым массовая матрица нейтрино должна быть диагональной, так что массы нейтрино могут быть обнаружены по осцилляциям перехода одного типа нейтрино в другой во время пролета больших расстояний.

Аналогичный анализ показывает, что существуют взаимодействия размерности шесть, нарушающие сохранение как барионного, так и лептонного чисел и содержащие три кварковых и одно лептонное поле 27â. Такие взаимодействия будут иметь константы связи порядка М–2 и будут приводить к процессам типа распада протона с вероятностями, пропорциональными M–4.

21.4. Динамически нарушенные локальные симметрии *

До сих пор обсуждение спонтанно нарушенных локальных симметрий проводилось полностью в рамках теории возмущений. Такое ограничение до некоторой степени неизбежно. В то время, как в случае спонтанно нарушенных глобальных симметрий можно доказать строгие теоремы о существовании и взаимодействиях безмассовых голдстоуновских бозонов, спонтанное нарушение локальной симметрии не приводит к каким-либо столь же точным следствиям. Даже существование массивных векторных бозонов не является в действительности общей теоремой; при достаточно большой калибровочной константе связи эти частицы распадаются столь

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

быстро, что они теряют свою индивидуальность как различимые резонансы определенного спина j = 1.

С другой стороны, если калибровочные константы связи типа е, g или g′ достаточно малы, тогда теория со спонтанно нарушен-

ной локальной симметрией должна быть очень близка к теории со спонтанно нарушенной глобальной симметрией, для которой могут быть доказаны строгие теоремы. Поэтому для таких калибровочных теорий можно получить полезные приближенные результаты, даже если другие некалибровочные константы связи очень велики. Один пример — стандартная SU(2) × U(1) электрослабая теория с большой скалярной константой самодействия λ (и следовательно боль-

шой массой скаляра; см. выражение (21.3.27)). Более интригующая возможность заключается в том, что нарушение электрослабой симметрии обязано большим силам, связанным с некоторой новой калибровочной группой, действующей на набор новых фермионов. Мы рассмотрим здесь результаты, которые могут быть получены для всех подобных теорий, не делая ссылок на конкретный механизм спонтанного нарушения симметрии 28.

Предположим, что в пределе нулевых калибровочных констант связи наша теория инвариантна относительно некоторой группы G глобальных симметрий, спонтанно нарушенной до подгруппы Н. Как обсуждалось в разделе 19.5, в этом случае теория может быть записана через набор голдстоуновских бозонных полей ξa, а также других полей материи ψ~ , свойства которых по отношению к

G-преобразованиям таковы, что лагранжиан G-инвариантен, если он H-инвариантен и построен только из ψ~ и ковариантных производных Daμ, Dμ ψ~ и т. п., которые даются выражениями (19.6.14),

(19.6.30) è ò ä.

«Включим» теперь калибровочные константы связи. Калибровочная группа G, конечно, должна быть подгруппой G G группы

G всех симметрий теории, и когда G спонтанно нарушается до Н, группа G должна спонтанно нарушиться до подгруппы Н, равной пересечению G с Н. Генераторы Tα калибровочной группы G могут

быть записаны как линейные комбинации генераторов TA полной группы G:

с коэффициентами eαA — калибровочными константами связи, ко-

торые выбирающтся очень малыми. Индекс А пробегает значения

428 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

меток i, a генераторов ненарушенной симметрии ti и генараторов нарушенной симметрии ξa. (Мы считаем, что генераторы ТÀ норми-

рованы стандартным образом; это означает, что они представлены матрицами с элементами порядка единицы. В частности, в противоположность Tα, структурные константы генераторов ξa è ti íå âêëþ-

чают констант связи в качестве множителей.)

В базовой теории, в которой G-инвариантность реализуется линейно, вводим связь калибровочных полей Aαμ с другими полями ψ, заменяя обычные производные калибровочно-инвариантными

производными:

Результирующая теория инвариантна относительно формально локальных преобразований, по отношению к которым поля преобразуются согласно формулам

ãäå g(ξ) — произвольный зависящий от пространственно-времен-

ных координат элемент группы G. Эта инвариантность чисто формальная, поскольку калибровочные константы в общем случае реально нарушают G, как видно из того, что преобразование (21.4.5) в общем случае не сохраняет форму линейной комбинации (21.4.3). Тем не менее, можно временно забыть о формуле (21.4.3), и рассматривать AAμ как не связанное никакими ограничениями класси-

ческое внешнее поле, и проанализировать структуру лагранжиана полей материи и их взаимодействия с калибровочными полями, требуя, чтобы этот лагранжиан был инвариантным относительно

локальных преобразований (21.4.4) и (21.4.5). Таким образом мы обеспечим не только то, что лагранжиан будет инвариантным относительно истинной подгруппы G локальной симметрии (а при eαA → 0 и относительно более широкой группы G глобальной сим-

метрии), но и то, что токи — вариационные производные действия материи по Aαμ — будут правильно преобразовываться по

отношению к нарушенной глобальной группе симметрии G. Позднее мы ограничим AAμ формой (21.4.3), и будем рассматривать поле Aαμ как квантовое, дописав в лагранжиан этого поля соот-

ветствующий кинематический член.

Для того, чтобы воспользоваться следствиями спонтанного нарушения группы инвариантности G до ее подгруппы Н, будем действовать как в разделе 19.6. Прежде всего, заменим ψ è À

новыми полями

B

ãäå γ(ξ) — стандартное G-преобразование, устраняющее степени свободы голдстоуновских бозонов в поле ψ, а D(g) — реализуемое

калибровочными полями представление G:

Эти голдстоуновские степени свободы вновь появляются в зависящих от пространственно-временной точки параметрах ξa, от которых зависит γ(ξ). С помощью тех же вычислений, что и в

разделе 19.6, закон преобразования (21.4.4) превращается как для локальных, так и для глобальных преобразований, в закон преобразования

где h и f определены соотношением