Файл: Labwork(atom)4-1-2-3.pdf

www.phys.nsu.ru

Рис. 2. Некоторые отражающие плоскости в образце, обладающем кубической кристаллической решёткой, с указанием их индексов Миллера (показаны плоскости, перпендикулярные рисунку)

кой относительно координатных осей решётки. Эти ориентировки характеризуются числовыми индексами (hkl). Для примера рассмотрим наиболее простой случай кубической решётки, когда a = b = c, а углы α = β = γ = 90°. На рис. 2 показано распределение атомов кубической решётки - двумерный случай. Можно условно принять, что атомы расположены в узлах элементарной ячейки. Выберем прямоугольную систему координат һ, k, l, связанную с решёткой. Тогда каждую из выделенных плоскостей можно определить теми отрезками, которые отсекаются на соответствующих осях, т.е. ah , ak , al . Величины h = a / ah , k = a / ak , l = a / al носят название индексов Миллера9 ( a – постоянная решётки).

На рис. 3 показаны три плоскости кубической решетки с указанием их индексов Миллера. Рассмотрим для примера рис. 3, б. Здесь отрезки по осям һ, k, l равны a, поэтому плоскость имеет

индексы Миллера (111). Плоскость на рис. 3, в отсекает по осям һ, k, l отрезки – a /2, a , и 0. Соответственно, получаем миллеровы индексы плоскости: (210). Плоскости, характеризуемые цифрами, полученными умножением на общий множитель, например (111) и (222), параллельны. Обычно применяются только те индексы, которые не имеют общих делителей. Чем больше индексы, тем меньше межплоскостные расстояния и тем меньше плотность атомов в данной плоскости. Если один из индексов Миллера принимает отрицательное значение, то в этом случае над соовет-

ствующим числом ставится черта, например (111).

Межплоскостные расстояния для кубической решетки определяются выражением

Для некубической решетки выражение для dhkl значительно усложняется.

Следует заметить, что принятая в этом пособии система обозначения кристаллических плоскостей не является единственной. Так, например, иногда кристаллические плоскости в ромбоэдриче-

9 Миллер Уильям (6.IV.1801–20.V.1880) – британский минералог и кристаллограф. Профессор минералогии в Кембридже с 1832 до 1870 г. Ввёл метод классификации кристаллографических плоскостей (индексы Миллера) в 1839 г. В его честь назван минерал миллерит.

35

www.phys.nsu.ru

Рис. 3. Различные плоскости отражения для кубического кристалла с указанием их индексов Миллера

ских или гексагональных решётках обозначаются по системе Брэвиса–Миллера10, которая требует четырёх индексов (h k i l). Здесь i ≡ −h −k , а значение и смысл остальных индексов совпадает с обозначениями Миллера. Четвёртый индекс является в некотором смысле избыточным, а «четы-

рёхиндексные» обозначения сводятся к обычным миллеровским: (110) ≡ (1120) . Тем не менее,

такая система имеет определённые преимущества, потому что позволяет по обозначениям легко отличать плоскости, получающиеся из-за перестановочной симметрии решётки.

Существует несколько визуально близких систем кристаллографических обозначений, которые не следует путать. Отличие заключается в типе используемых скобок. Круглые скобки в записи (210) обозначают индексы Миллера. Если используются квадратные скобки [210], то это – указа-

вида {210} обозначает все плоскости, эквивалентные (210) в симметричном кристалле. Соответственно, запись <210> обозначает все направления в кристалле, эквивалентные в силу симметрии направлению [210].

Дифракция электронов на кристаллической решётке

Если в первом приближении представить дифракцию электронов как результат отражения электронного пучка от атомных плоскостей кристаллической решётки, то направление дифрагированных лучей определяется ориентацией в пространстве этих плоскостей и при этом условия дифракции подчиняются известному закону Брэгга–Вульфа11. Рассмотрим геометрию дифракции сначала на примере простой модели, представленной на рис.4.

10Брэвис Август (23.VIII.1811–30.V.1863) – французский физик. Служил во флоте (гидрография), затем стал профессором университета Лиона и Эколь Политекник. Работал по кристаллографии (14 типов решёток Брэвиса, закон Брэвиса). Сооснователь Метеорологического общества Франции, член Французской АН

(1854).

11Брэгг Лоуренс (31.III.1890–1.VII.1971) – английский физик, член Лондонского королевского общества (1921). Сын Г. Брэгга, вместе с которым работал долгое время. Профессор нескольких английских университетов, с 1954 г. – директор Королевского института в Лондоне. Работы по теории дифракции рентгеновских лучей и рентгеноструктурному анализу (Нобелевская премия 1915 г. совместно с отцом). В 1912 независимо открыл формулу Брэгга–Вульфа.

Вульф Георгий (Юрий) Викторович (22.VI.1863–25.XII.1925) – советский кристаллограф, чл.-корр. АН

СССР (1921), профессор МГУ с 1909 г. Работы по кристаллофизике и рентгеноструктурному анализу.

36

www.phys.nsu.ru

Рис. 4. Схема дифракции электронов в кристалле. Иллюстрация процесса рассеяния падающей волны на системе параллельных плоскостей (к выводу соотношения Брэгга–Вульфа)

Пусть параллельный электронный пучок падает на кристалл под углом θ к системе кристалли-

ческих плоскостей с межплоскостным расстоянием dhkl . Каждый изображённый кружком атом является рассеивающим центром, на котором происходит дифракция электрона. Для простоты примем, что кристаллические плоскости перпендикулярны плоскости рис. 4.

Рассмотрение дифракции электронов в такой системе можно проводить аналогично тому, как в курсе волновой оптики проводилось рассмотрение интерференции света, отразившегося от каждого штриха дифракционной решётки. Есть, однако, и весьма существенные отличия между разложением света в спектр дифракционной решёткой и процессами дифракции электронов либо рентгеновских лучей в кристаллах. По физике это отличие связано с тем, что дифракционная решётка обычно является одномерным объектом (т. е. штрихи нарезаны параллельно друг другу на поверхности решётки). Поэтому для падающего света с произвольной длиной волны всегда найдётся12 такой угол отражения, для которого будет выполнено условие сложения амплитуд, т. е. разность хода лучей света, отражённых от каждого штриха дифракционной решётки, будет кратна целому числу длин волн. Для каждой длины волны это условие будет своим, и поэтому дифракционная решётка раскладывает белый свет в спектр.

В отличие от дифракции света, дифракция как электронов, так и рентгеновских лучей в кристалле носит существенно трёхмерный характер. Во-первых, рассеивающие атомы локализованы в пространстве и не являются сплошными одномерными полосками, подобными штрихам дифракционной решётки. Во-вторых, длина пробега излучения (быстрых электронов или рентгеновских лучей) много больше межплоскостного расстояния в кристаллической решётке. Это значит, что вероятность рассеяния на каждом отдельном атоме невелика, а в образовании дифракционной картины принимает участие не единственный поверхностный слой атомов, а большое количество расположенных по глубине образца атомных плоскостей. Оба обстоятельства привносят в рас-

Открыл влияние силы тяжести на рост кристаллов (1895). Разработал графический метод для представления кристаллографических данных – стереографическую сетку Вульфа, а также вращающийся кристаллизатор для получения кристаллов правильной формы. Открыл закон пропорциональности скорости роста удельным поверхностным энергиям (закон Вульфа). В 1913 г. независимо открыл формулу Брэгга–Вульфа.

12 Естественно, что это утверждение справедливо лишь при известных ограничениях на отношение длины волны света к шагу штрихов решётки.

37

www.phys.nsu.ru

смотрение дифракции дополнительные требования. Теперь необходимо обеспечить отражение в фазе не только от всех атомов одной-единственной поверхностной плоскости, но и от атомов всех плоскостей, на которых происходит рассеяние электронов в глубине кристалла.

Трёхмерный характер дифракции излучения в кристаллах приводит к одному важному следствию, математическое выражение которого будет приведено несколько позже. Условию сложения амплитуд рассеянных на атомах волн при заданной решётке, но произвольном угле падения и произвольной длине волны можно удовлетворить только в особых случаях. Из простой модели, представленной на рис. 4, видно, что если дифрагированный луч уходит от отражающей плоскости под углом отражения θ, равным углу падения, то разность хода лучей (расстояние АВС) будет равна 2d sinθ . Отсюда, поскольку эта разность хода должна быть кратной длине волны, получаем условие Брэгга-Вульфа:

Крайне важным в этой формуле является следующее. Условие (11) получено для случая, когда угол падения равен углу отражения. При заданном расстоянии между кристаллическими плоскостями и заданном угле θ оно выполняется только для некоторых длин волн (будь то длина волны рентгеновского фотона или дебройлевская длина волны электрона). Таким образом, кристалл выполняет роль своеобразного селективного зеркала, которое из всего спектра падающего излучения будет зеркально отражать только те длины волн, которые удовлетворяют условию (11). Очевидно, что при выполнении условия Брэгга–Вульфа угол отклонения отражённых частиц относительно первоначального направления движения составляет 2θ.

С практической точки зрения существует две разные постановки задачи, в которых это свойство кристаллов может применяться. Одна из них – это применение кристаллов для анализа излучения с неизвестным спектром (при этом вырезанный вдоль одной из главных плоскостей кристалл с известными свойствами поворачивается под разные углы по отношению к падающему излучению, и тем самым производится сканирование по длинам волн). В этой работе применяется другая постановка задачи: пучок электронов с известной энергией (т. е. с известной длиной волны) падает на образец с неизвестными свойствами и с неизвестной ориентацией кристаллографических плоскостей. При этом ведётся регистрация того, на какие углы и в каком направлении происходит дифракция электронов, и по этим данным затем производится восстановление параметров решётки. Соответственно, на экране будет наблюдаться сигнал (далее будем использовать стандартный термин рефлекс) только в тех местах, для которых случайным образом оказалось выполненным условие (11). С учётом того, что кристаллических плоскостей с различными индексами Миллера много, на экране будет наблюдаться картина, состоящая из некоторого количества рефлексов от разных плоскостей.

Рассмотрим более детально геометрию реального эксперимента. На рис. 5 приведена схема рассеяния электронного пучка, распространяющегося сверху, на образце, расположенном в точке О'. Более подробно район расположения образца показан на врезке справа. Когда соответствующим

38

www.phys.nsu.ru

Рис. 5. Реальная геометрия дифракции электронов. Исследуемый образец занимает область пространства вокруг точки О' (врезка справа). Пучок электронов распространяется сверху вниз. В случае дифракции электронов угол θмал(< 3°) и точка Р очень близка кточке Р'

образом сфокусированный пучок электронов проходит через кристалл, дифракция происходит в том случае, если одновременно удовлетворяются три условия Лауэ13. Эти условия таковы:

здесь а, b и с — параметры кристаллической решетки, а n1, n2 и n3 — порядки дифракции Лауэ. Косинусы углов определяют направления падающего и дифрагированных пучков по отношению к каждой из трёх связанных с решёткой осей координат. Решение этой системы уравнений приводит к тому же выражению Брэгга-Вульфа (11), которое было приведено ранее.

На практике в обычных задачах рентгеновской и электронной дифракции не делают различия между n-м порядком отражения от системы плоскостей с расстоянием d и первым порядком отражения от параллельных им плоскостей с расстоянием d/n. Для всех регистрируемых межплоскост-

13 Лауэ Макс Феликс Теодор фон (9.X.1879–24.IV.1960) – немецкий физик-теоретик, член Берлинской АН (1921) и АН СССР (1930), профессор нескольких немецких университетов. В 1912 г. разработал теорию интерференции рентгеновских лучей в кристаллах (доказательство как электромагнитной природы рентгеновских лучей, так и периодической структуры кристаллических решёток), отмеченную Нобелевской премией 1914 г.

39