Файл: Начертательная геометрия.pdf

Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций называются координатными плоскостями. Они пересекаются по трем взаимно перпендикулярным прямым Оx, Oy, Oz , которые называются осями координат и обозначаются x, y, z. Общая точка О – начало координат.

Плоскости π1, π2, π3, пересекаясь между собой, делят пространство на восемь частей, называемых октантами, как это показано на рис. 1.11. В зависимости от положения точки относительно плоскостей проекций, ее координаты могут иметь положительные и отрицательные знаки. Например, в первом октанте все координаты имеют положительные значения, а в седьмом – отрицательные знаки.

Несмотря на то, что проецируемый объект можно расположить в любом октанте, во многих странах принято помещать изображаемый объект в первом октанте. Рассмотрим построение трех проекций некоторой точки пространства. Зададимся произвольной точкой А (рис. 1.11). Проецирование на плоскости π1 и π2 выполняется аналогично приведенному выше примеру проецирования точки A на две плоскости проекций. Профильной проекцией точки является прямоугольная проекция точки на профильной плоскости проекций π3. Обозначим ее А'''.

Часто с осями проекций совмещают декартову систему координат. Отметим, что проекции отрезков каждой проецирующей прямой равны между собой (рис. 1.11):

Чтобы перейти к плоскому изображению (на листе бумаги), повернем плоскость π1 вниз вокруг оси Оx и плоскость π3 вправо вокруг оси Oz до совмещения с плоскостью π2, как это показано стрелками на рис. 1.11.

При развороте плоскостей π1 и π3 ось y воспроизводится дважды. На рис. 1.12 показано расположение проекций А', А'', А''' точки A после совмещения плоскостей проекций.

10

Прямые, соединяющие на чертеже две проекции одной и той же точки, называются линиями связи, между А'' и А''' – горизонтальная линия связи, между проекциями А' и А'''

– ломаная линия связи. Переход от оси y плоскости π1 к оси y плоскости π3 может осуществляться при помощи дуги или вспомогательной прямой (биссектрисы прямого угла) или с помощью прямой, проведенной под углом 45° к оси y.

y

Рис. 1.12

На рис. 1.13 выполнено построение профильной проекции А''' точки A по заданной горизонтальной А' и фронтальной А''. Построение выполняется следующим образом:

1.Проводим через проекцию А'' горизонтальную линию связи, на которой находится профильная проекция А'''.

2.Проводим ломаную линию связи через А' до пересечения с горизонтальной линией

связи.

Профильную проекцию А''' можно получить откладывая на горизонтальной линии связи от точки Az отрезок, равный координате y.

z

y

Рис. 1.13

Как известно, положение точки в пространстве может быть задано при помощи трех ее координат (абсциссы – Х, ординаты – У, аппликаты – Z) т.е. трех чисел, выражающих

11

расстояния от этой точки до трех плоскостей проекций. Запись координат точки производится в такой форме : А(х, у, z).

Предположим, задана точка А(15, 20, 30); эта запись означает, что точка А определяется координатами х = 15, у = 20, z = 30). Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то построение проводят так, как показано на рис. 1.12, 1.13 – откладывается на оси x от точки О отрезок ОАх = 15, а на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки Ах, откладывают отрезки АхА' = 20 и АхА'' = 30. Затем строят профильную проекцию А''', как описано выше.

В дальнейшем все геометрические элементы (точки, прямые, фигуры, тела) будем располагать в I четверти (I октанте) пространства.

1.6.Примеры решения задач к главе 1

Пример 1. По заданным координатам точки А(15, 20, 30) построить ее проекции и наглядное изображение в пространстве (рис. 1.14).

z

A' A

y

Рис. 1.14

•Выбираем масштаб 1:1 для решения задачи.

•По оси Оx откладываем х = 15 (точка Ах).

•В точке Ах восстанавливаем перпендикуляр к оси Оx (линию связи) и отложив на нем у = 20 и z = 30 получим соответственно точку А' – горизонтальную проекцию точки A, и точку А'' – фронтальную проекцию точки А.

•Затем из точки А' опустим перпендикуляр на ось Оy (точка Ау).

•Радиусом ОАу переносим точку Ау на ось Оy1 (точка Ау1).

•Из точки Ау1 восстанавливаем перпендикуляр к оси Оy1.

•Из точки А'' проводим линию связи А''Аz. В пересечении линии связи и перпендикуляра получим точку А''' – профильную проекцию точки А.

Для определения положения точки в пространстве построим ее аксонометрическую проекцию. Для этого воспользуемся известной из средней школы косоугольной фронтальной диметрической проекцией. Аксонометрические оси у этой проекции расположены так, как это показано на рис. 1.15.

Отметим, что коэффициент искажения по осям x и z равен 1, а по оси y равен 0,5, т.е. численные значения координаты у необходимо уменьшать в два раза.

12

A

A' A

Рис. 1.15

Отложив по осям значения координат (х = 15, у = 20, z = 30) как это показано на рис. 1.15, получимаксонометрическуюпроекциюточкиА.

Пример 2. Построить недостающие проекции точек А, В, С, D (рис. 1.16). Заданные проекции этих точек на чертеже показаны черными точками.

B'

y

Рис. 1.16

Недостающие проекции точек строят с помощью линий связи между проекциями, направление которых указано стрелками. Выполнив необходимые построения, приведенные на чертеже, получим искомые проекции точек, отмеченные красными точками и крестиками.

1.7.Вопросы для самоконтроля

1.Что называется прямоугольной проекцией точки?

2.В чем состоит сущность способа получения на плоскости изображения пространственной фигуры?

3.Сформулируйте основные свойства прямоугольного проецирования.

4.Как называются и обозначаются плоскости проекций?

5.Что называется горизонтальной, фронтальной и профильной проекцией точки?

6.Какой способ используется для получения чертежа точки в системе двух и трех проекций? Какая существует зависимость во взаимном расположении проекций точки, изображенной в системе двух и трех проекций?

7.Как обозначаются проекции точек?

8.В какой последовательности записываются координаты точек?

13