Файл: Начертательная геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.08.2024

Просмотров: 216

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Глава 2 Прямая

2.1. Проекции отрезка прямой линии

Как известно из элементарной геометрии, прямая линия определяется двумя точками, поэтому, чтобы построить проекции этой прямой, необходимо иметь проекции двух точек, принадлежащих этой прямой.

Возьмем на произвольной прямой две точки А и В (рис.2.1).Их проекции А0 и

 

 

В0 на плоскости π0 определяют прямую,

 

B

которую можно рассматривать как ли-

 

нию пересечения плоскости π 0 с плос-

 

 

костью β определяемой прямой АВ и

 

 

проецирующими

лучами

АА0

и

A

 

ВВ0.Линия пересечения плоскостей

π0 и

A

B

β проходит через проекции А0 и В0

на

плоскости π0. Эта линия и является од-

ноименной проекцией прямой на плос-

кости проекций π0.

Рис. 2.1

Одна проекция прямой не определяет ее положения в пространстве. Две проекции прямой вполне определяют ее положение в пространстве.

2.2. Прямые общего и частного положения

Прямые в пространстве могут занимать относительно плоскостей проекций различное положение.

Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения. На рис. 2.2, а дано пространственное изображение, а на рис.2.2, б – чертеж прямой АВ. Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей пространства, т.е. прямая АВ не параллельна не одной из них. Значит, прямая АВ общего положения.

 

 

z

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

B''

 

 

B''

B'''

 

 

 

 

 

A''

 

B

B'''

 

A''

A'''

A

A

B

A'''

 

 

y

 

A'

B'

B

 

A'

 

 

 

y

 

 

 

 

 

B'

y

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

Рис. 2.2.

 

б)

 

 

 

 

 

 

Прямые, параллельные или перпендикулярные к плоскостям проекций, называются прямыми частного положения. Прямая, параллельная какой-либо одной плоскости проекций, называется прямой уровня. Существуют три линии уровня:

1)горизонтальная – прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций π1;

2)фронтальная – прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций π2;

3)профильная – прямая, параллельная профильной плоскости проекций π3.

14

Характерные особенности прямых уровня иихпроекций приведены втаблице 2.1.

Прямые уровня

Таблица 2.1

Наимено-

Наглядное изображение

Чертеж прямой

Особенности

вание и

прямой

 

 

 

проекций

поло же-

 

 

 

 

прямой

ние пря-

 

 

 

 

 

мой

 

 

 

 

 

Горизон

 

 

A''

B''

A''B'' II Ox;

тальная,

A''

B''

 

 

A'B' – нату-

AB II π1

 

 

 

 

 

 

ральная ве-

 

 

A

 

 

личина;

 

 

B'

 

B'

ϕ2 – угол на-

 

 

A'

 

клона пря-

 

 

 

 

мой AB к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскости π2

Фронталь

 

 

 

D''

C'D' II Ox;

ная,

 

 

C''

C''D'' – нату-

 

 

 

CD II π2

 

 

 

ральная ве-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

личина;

 

 

 

 

 

ϕ1 – угол на-

 

 

 

C'

D'

клона пря-

 

 

 

 

 

мой CD к

Профиль

 

 

 

 

плоскости π1

 

 

 

z

E'F' и E''F''

ная,

 

 

E''

Ox; E'''F''' –

E''

 

E'''

EF II π3

 

натуральная

 

E

 

 

 

величина;

 

 

 

 

 

ϕ1 и ϕ2– углы

 

F''

 

F''

F'''y

наклона пря-

 

 

F

 

мой EF соот-

 

E'

E'

 

ветственно к

 

 

F'

 

плоскостям

 

 

 

 

 

 

 

F'

y

π1и π2

 

 

 

 

Прямая, перпендикулярная к плоскостям проекций, называется проецирующей. Различают три проецирующие прямые:

1)горизонтально-проецирующая – прямая, перпендикулярная к плоскости π1;

2)фронтально-проецирующая – прямая, перпендикулярная к плоскости π2;

3)профильно проецирующая – прямая, перпендикулярная к плоскости π3. Характерные особенности проецирующих прямых и их проекции приведены в

таблице 2.2.

15

 

 

 

 

Проецирующие прямые

 

 

Таблица 2.2

Наимено-

Наглядное изображение

 

Чертеж прямой

 

Особенно-

вание и по-

прямой

 

 

 

 

 

 

 

сти проек-

ложение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ций прямой

прямой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Горизон

E''

 

 

 

 

E''

 

 

E'F' – вы-

тально-про

 

 

 

E

 

 

 

 

 

рожденная

ецирующая

 

 

 

 

 

 

 

 

(точка);

F''

 

 

 

 

F''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E''F'' II оси z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E'

F'

 

 

 

 

 

 

Фронталь

 

 

 

 

 

 

E'

F'

 

C''D'' – вы-

C''

D''

 

 

 

C''

D''

 

но-проеци

 

 

 

 

 

 

рожденная

 

 

C

 

 

 

 

 

 

рующая

 

 

D

 

 

 

 

 

 

(точка);

 

 

 

 

 

 

C'

 

 

C'D' II оси y

 

 

C'

 

 

 

 

 

 

 

 

D'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Профиль-

 

 

 

 

 

 

 

z

 

A'''B''' – вы-

нопроеци-

A''

 

B''

A'''

B'''

A''

B''

A'''

B'''

рожденная

рующая

A

 

 

 

 

 

 

(точка);

 

 

B

 

 

 

 

 

y

A'B' II A''B''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II оси x

 

 

A'

B'

 

 

A'

B'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

2.3. Следы прямой

 

 

 

 

N''=N

 

 

 

A''

 

 

 

A

 

 

 

 

 

B''

 

 

B'

M''

N'

 

 

A'

B'

M'=M

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.3.

 

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называют следами. В системе трех плоскостей проекций прямая общего положения имеет три следа – горизонтальный, фронтальный и профильный; прямая, параллельная одной из плоскостей проекций – два, и прямая, перпендикулярная к плоскости проекций – один след. На рис. 2.3. изображена прямая общего положения АВ. Она пересекается с плоскостью π1 в точке М, а с плоскостью π2 – в точке N. Точка М (М',М'') – горизонтальный след этой прямой, а точка N (N',N'') – ее фронтальный след. Горизонтальная проекция М' горизонтального следа совпадает с самим следом М, а фронтальная проекция М'' этого следа лежит на оси проекций Оx.

16

Чтобы найти горизонтальный след, надо продлить фронтальную проекцию А'' В'' (рис. 2.4) до пересечения с осью x (точка М'') и из этой точки восстановить перпендикуляр к оси x (линию связи) до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А'В'.

 

Точка М' – горизонтальная проекция гори-

 

зонтального следа, которая совпадает с са-

N'=N A''

мим следом М.

 

Для нахождения фронтального следа

B'' M''

необходимо

продолжить горизонтальную

проекцию А'

В'до пересечения с осью x

N' A'

(точка N' ) и через точку N', которая являет-

 

ся горизонтальной проекцией фронтально-

B' M'=M

го следа, провести перпендикуляр к оси x

до пересечения с продолжением фронталь-

Рис. 2.4

ной проекцией А'' В''. Точка N'' - фронталь-

 

ная проекция фронтального следа, которая

 

совпадает с фронтальным следом N.

 

Отметим, что прямая не имеет следа

 

на плоскости проекций в том случае, если

 

она параллельна этой плоскости.

2.4. Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскости проекций

 

B''

B

 

 

A''

 

z

 

2

∆

 

 

∆y

A

1

A

B

 

 

 

B'

 

A'

 

 

Рис. 2.5

 

Как отмечалось выше, отрезки прямых общего положения не проецируются в натуральную величину ни на одну из плоскостей проекций.

Длину (натуральную величину – НВ) отрезка можно определить на основании свойства ортогонального проецирования. Из рисунка 2.5 видно, что натуральная величина отрезка АВ общего положения является гипотенузой прямоугольного треугольника АВ1. В этом треугольнике один катет А1 параллелен плоскости π1 и равен по длине горизонтальной проекции отрезка АВ (А1 АffВff), а величина второго катета

равна разности расстояний точек В и А до

плоскости проекций π1, т.е. В1 = ВВ' – АА' =

∆Ζ.

Угол ϕ1 – угол наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций π1. Таким образом на горизонтальной проекции чертежа отрезка (рис.2.6) можно по-

строить прямоугольный треугольник, взяв вторым катетом ∆Υ. Гипотенуза этого тре-

ff

будет натуральной величиной отрезка АВ, а угол ϕ1 определяет угол на-

угольника АВ

клона отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекций π1.

17

A*

∆ y

A''

A 2

∆ y

A'

Рис. 2.6

B''

∆ z

1

B B' ∆ z

B*

Аналогичное построение можно сделать на фронтальной плоскости отрезка, взяв в качестве второго катета разность расстояний концов отрезка (∆1) до горизонтальной плоскости проекций π1. Отрезок А В'' – натуральная величина отрезка

АВ, угол ϕ2 – угол наклона АВ к плоскости

π2.

Из вышесказанного вытекает, что длина (НВ) отрезка общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен проекции отрезка на плоскости проекций, а другой катет равен разности расстояний концов отрезка до этой плоскости.

2.5. Относительное положение точки. Деление отрезка прямой в данном отношении

 

 

 

 

 

F''

G''

K''

 

 

 

 

 

 

 

B'' C''

D''

 

L''

 

M''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a''

 

 

E''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a'

 

 

 

G'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D' E'

F'

 

 

 

 

 

 

M'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K' L'

Рис. 2.7

Точка и прямая в пространстве могут занимать различное положение. Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки лежат на одноименных проекциях данной прямой. Точка В принадлежит прямой а (рис. 2.7), так как ее проекции В' и В'' лежат на одноименных проекциях прямой а' и а''. Точки C, D, E, F, G, K, L, M не принадлежат прямой а, так как по крайней мере одна из проекций каждой из этих точек не лежит на соответствующей проекции прямой.

Определить положение точек, заданных на рис. 2.7, относительно прямой а можно сравнивая координаты Ζ и Υ каждой из этих точек с соответствующей точкой (обозначенной крестиком) прямой а, лежащей на одной и той же линии связи.

Точка C находится позади прямой а; точка D – впереди прямой а, точка E – под прямой а, точка F – под прямой а; точка G – над и позади прямой а, точка K – над и впереди прямой а, точка L – под и впереди прямой а, точка М – под и позади прямой а.

 

B''

Иногда требуется разделить отрезок

 

в данном отношении. Из свойств парал-

C''

 

 

лельного проецирования известно, что от-

A''

 

 

 

ношение отрезков одной и той же прямой

 

B'

равно отношению проекций этих отрезков.

C'

Чтобы разделить отрезок прямой в задан-

 

A'

 

ном отношении, необходимо разделить в

 

этом отношении одну из проекций этого

1 2 3 4 5

 

отрезка, а затем с помощью линий связи

 

 

перенести делящую точку на другие проек-

Рис. 2.8

 

ции.

 

 

18

Смотрите также файлы