Файл: Начертательная геометрия.pdf

Рис.12.9

Ее горизонтальная проекция симметрична относительно δ′, а фронтальные проекции симметричных половин совпадают (обозначение точек приведено лишь на одной симметричной половине кривой пересечения).

Точки 1 и 2, расположенные на очерках фронтальных проекций конуса и сферы, очевидны и определяются без дополнительных построений.

Точка 3 на экваторе сферы построена с помощью горизонтальной плоскости α (α″), пересекающей конус по окружности радиуса R. В пересечении горизонтальных проекций этой окружности и экватора находится горизонтальная проекция 3′ точки 3 и профильную 3″′ проекции точки 3 определим с помощью линии связи. Точка 3 на горизонтальной проекции разделяет кривую на видимую и невидимую части.

Точки 4 и 5, расположенные на очерковых образующих фронтальных проекций конуса, определим с помощью профильной плоскости β (β″), пересекающей сферу по окружности радиуса R1. В пересечении профильных проекций этой окружности и очерковых образующих конуса находятся профильные проекции 4″′ и 5″′ точек 4 и 5.

С помощью линий связи определим фронтальные и горизонтальные проекции этих точек.

Так как пересекающиеся оси конуса и сферы образуют плоскость, параллельную плоскости π2, то наряду с секущими плоскостями можно применять и секущие сферы с центром в точке О. Так для построения крайней правой точки кривой использована вспомогательная сфера Сф.1, вписанная в конус (т.е. имеющая наименьший радиус). В пересечении фронтальной проекции окружности касания и фронтальной проекции окружности пересечения со сферой находится фронтальная проекция 6″ точки 6.

Подобным образом определена точка 7, расположенная на профильном меридиане сферы. Радиус Rz этой сферы взят таким, чтобы она пересекала сферу по профильно-

120

му меридиану. Точка 7 на профильной проекции разделяет кривую на видимую и невидимую части.

Все построенные выше точки являются опорными.

Промежуточная точка 8 построена с помощью горизонтальной плоскости γ (γ″). На рис. 12.9 также изображены в масштабе увеличения фрагменты профильной

проекции.

Пример 2. Построить линию пересечения поверхности тора с цилиндром враще-

ния (рис.12.10).

2''

1''

cф.1 cф.2 cф.3

R

2' 1'

O'

Рис. 12. 10

Решение. Анализ графического условия задачи показывает, что применение способа вспомогательных секущих плоскостей в данном примере нерационально, т.к. нельзя в общем случае подобрать секущие плоскости так, чтобы они пересекали заданные поверхности по простым линиям (прямым или окружностям).

121

Так как оси тора или цилиндра пересекаются и параллельны фронтальной плоскости проекций, то для решения задачи применим способ вспомогательных концентрических сфер с центром в точке О. Кривая линия пересечения симметрична относительно плоскости, образованной пересекающими осями заданных поверхностей, а фронтальные проекции симметричных половин совпадают.

Точки 1 и 2, расположенные на пересечении очерков фронтальных проекций тора

ицилиндра, очевидны.

Спомощью сферы Сф.1, вписанной в тор (т.е. имеющий наименьший радиус), построена фронтальная проекция точки 3 – левой точки кривой пересечения. Вспомогательная сфера Сф.1 касается поверхности тора по окружности радиуса R и пересекает поверхность цилиндра по окружности, определяемой точками пересечения образующих цилиндра сферой. В пересечении этих окружностей получается фронтальная проекция точки 3 (обозначение точек приведено лишь на симметричной половине кривой). С помощью вспомогательных сфер Сф.2 и Сф.3 построены фронтальные проекции точек 4, 5, 6.

Полученные фронтальные проекции точек соединяем плавной кривой и отмечаем

точку 7″ пересечения ее с осью цилиндра.

Горизонтальные проекции точек кривой пересечения построены из условия принадлежности их соответствующим параллелям (окружностям) тора. Так точка 3 находится на окружности радиуса R.

Горизонтальная проекция 7′, расположенной на очерковой образующей цилиндра, разделяет проекцию кривой на видимую и невидимую части.

Эллипс – горизонтальная проекция основания цилиндра – построен по двум ее осям с помощью вспомогательных окружностей.

12.5.Вопросы для контроля

1.В чем сущность общего способа пересечения одной поверхности другою?

2.Как подбирают положение вспомогательных секущих плоскостей при пересечении поверхностей вращения?

3.Какие точки пересечения называются опорными (характерными)?

4.По каким линиям пересекаются между собой: а) цилиндры с параллельными осями; б) конусы с общей вершиной?

5.Какие линии получаются при взаимном пересечении двух поверхностей вращения, описанных вокруг общей для них сферы или вписанных в сферу?

6.По каким линиям пересекаются между собой соосные поверхности вращения?

7.Какие условия должны быть выполнены для применения способа вспомогательных концентрических сфер?

122

Глава 13. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

13.1 Общие сведения

Аксонометрическая проекция, или аксонометрия, дает наглядное изображение предмета на одной плоскости. Слово аксонометрия означает осеизмерение.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данную фигуру вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, параллельно проецируют на некоторую плоскость, принятую за плоскость аксонометрических проекций (ее называют также картинной плоскостью). При различном взаимном расположении осей координат в пространстве и плоскости аксонометрической проекции, а также при разном направлении проецирования можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся одна от другой направлением аксонометрических осей и масштабами по ним.

Вконструкторской документации аксонометрические проекции стандартизованы

вГОСТ 2.317-69. Он предусматривает три частных вида аксонометрических проекций:

−ортогональная изометрия,

−ортогональная диметрия,

−фронтальная (косоугольная) диметрия.

Рассмотрим, как будут направлены аксонометрические оси, а также как будет осуществляться масштабирование по ним в случае направления проецирования, перпендикулярного аксонометрической плоскости проекций, т.е. для прямоугольной аксонометрической проекции.

На рис. 13.1 изображена пространственная система ортогональных координат Ox, Oy, Oz, а также единичные отрезки e на осях координат и их проекции в направлении S на некоторую (картинную) плоскость ε, являющуюся аксонометрической плоскостью проекций.

Проекции ex, ey, ez отрезка e на соответствующих аксонометрических осях Oεx, Oεy, Oεz в общем случае не равны отрезку e и не равны между собой. Эти проекции являются единицами измерения по аксонометрическим осям – аксонометрическими масштабами.

Отношения: ex / e = k; ey / e = m; ez / e = n называют коэффициентами искажения по аксонометрическим осям.

В частном случае положение картинной плоскости можно выбрать таким, что аксонометрические единицы – отрезки ex, ey, ez – будут равны между собой или будет равна между собой пара этих отрезков.

123

При ex = ey = ez (k = m = n) аксонометрическую проекцию называют изометрической, искажения по всем осям в ней одинаковы.

При равенстве аксонометрических единиц по двум осям, обычно при ex = ey ≠ ez (k = m ≠ n), имеем диметрическую проекцию.

Если ex ≠ ey ≠ ez (k ≠ m ≠ n), то проекцию называют триметрической.

Отрезки Oεx, Oεy, Oεz являются аксонометрическими проекциями отрезков Ox,

Oy, Oz. Обозначим углы между осями координат и их проекциями на плоскости ε через

α, β, γ.

Тогда Oεx / Ox = cosα; Oεy/Oy = cosβ; Oεz/Oz = cosγ. Эти отношения являются коэффициентами искажения, т.е. k = cosα; m = cosβ; n = cosγ. Поскольку треугольники OεxO, OεyO и OεzO прямоугольные, то сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

cos2(π/2-α) + cos2(π/2-β) + cos2(π/2-γ) = 1.

Отсюда sin2α + sin2β + sin2γ = 1, или 1 - cos2 α + 1 - cos2 β + 1 - cos2 γ = 1,

следовательно, cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 2.

Таким образом: k2 + m2 + n2 = 2, т.е. сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2.

13.2 Ортогональная изометрическая проекция

Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция образуется при прямоугольном проецировании предмета и связанных с ним координатных осей на плоскость аксонометрических проекций, одинаково наклоненную к каждой координатной оси.

При таком проецировании все три коэффициента искажений будут равны между собой: k = m = n; k2 + m2 + n2 = 2, тогда 3k2= 2,

откуда k = 2 / 3 ≈ 0,82 . Углы между аксонометрическими осями будут равны 120°.

При построении изометрической проекции размеры предмета, откладываемые по аксонометрическим осям, необходимо умножать на 0,82. Поскольку такой перерасчет размеров неудобен, изометрическую проекцию для упрощения выполняют без уменьшения размеров (искажения) по осям x, y, z, т.е. принимают приведенный коэффициент искажения равным единице. При этом увеличение изображения предмета составляет 22% (1/0,82 = 1,22). Каждый отрезок, направленный по осям x, y, z или параллельно им, сохраняет свою величину.

Расположение осей изометрической проекции показано на рис. 13.2, а. Аксонометрические оси изометрической проекции, а также отрезки прямых, параллельные этим осям, удобно строить с помощью угольника с углами 30 и 60°.

124