Файл: Начертательная геометрия.pdf

Линией пересечения указанных тел является пространственная кривая, фронтальная проекция которой совпадает с окружностью - фронтальной проекцией цилиндра. Отметим на этой окружности точки линии пересечения: опорные (1, 2, 3, 4, 5, 6) и промежуточные (7, 8, 9). Точки обозначены только на одной симметричной части линии пересечения. Горизонтальные проекции точек 1 и 2, лежащие на кривой очерковой образующей конуса, определим с помощью линий связи. Для построения горизонтальных проекций точек 3 и 4 использованы вспомогательные плоскости α и β.

Плоскость α пересекает цилиндр по крайней левой образующей, а конус по окружности (параллели) радиуса R, пересечение которых определяет горизонтальную проекцию 3′ точки 3.

Плоскость β, касающаяся цилиндра в его нижней образующей и пересекающей конус по окружности соответствующего радиуса, позволяет построить горизонтальную проекцию 4′ точки 4.

Подобным образом с помощью горизонтальных плоскостей γ, δ, ε и ξ находятся горизонтальные проекции точек 5 и 6, расположенных на ближней и дальней образующих конуса, а также горизонтальные проекции промежуточных точек 7, 8, 9.

Видимой частью горизонтальной проекции линии пересечения является линия 1′- 7′- 3′, принадлежащая видимой (верхней) части цилиндра.

На рис. 12.2, б приведено наглядное изображение взаимно пересекающихся цилиндра и конуса и вспомогательная плоскость δ, используемая для построения промежуточной точки 7.

На рис. 12.3, а показано построение линии пересечения полусферы с цилиндром вращения. Поскольку ось цилиндра перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций, то горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с окружностью – горизонтальной проекцией цилиндра. Отметим на этой окружности опорные точки линии пересечения A, B, C, D, G, H, K, L и промежуточные M, N, P.

115

Точки А и В (низшая и высшая точки) расположены в горизонтальнопроецирующей плоскости α, горизонтальный след - проекция α′ которой пройдет через горизонтальные проекции D′ и D1′ осей тел вращения. Чтобы определить фронтальные проекции А″ и В″ этих точек, повернем плоскость α с лежащими на ней линиями сечения сферы и цилиндра вокруг оси сферы до фронтального положения. Пересечение нового положения, образующих цилиндра и контура сферы на П z, с которым совпадает проекция сечения сферы плоскостью α после поворота, дает точки А1″иВ1″, по которым определяем проекции А″иВ″.

Фронтальные проекции точек C и D, расположенных на фронтальном меридиане сферы, определим с помощью линий связи.

Для построения фронтальных проекций опорных точек E, F, G, H, расположенных на крайних образующих цилиндра, и точек K, L, находящихся на профильном меридиане сферы, использованы вспомогательные фронтальные плоскости α, β, γ, δ, ε. Фронтальные проекции промежуточных точек M, N, L построим с помощью фронтальных плоскостей – пересекают (касаются) цилиндр по образующим, а полусферу – по полуокружности. Так, вспомогательная плоскость ξ пересекает цилиндр по соответствующим образующим, а полусферу – по дуге радиуса R. Пересечение фронтальных проекций указанных линий сечения и дает точки M″ и N″.

Найденные фронтальные проекции опорных и промежуточных точек соединяем лекальной кривой, обводя точки в порядке их расположения на поверхности цилиндра.

Видимой частью фронтальных проекции является E′ - M′ - A′- G′ - K′- ′F′, принадлежащая видимой (передней) части цилиндра.

На рис. 12.3, б представлено наглядное изображение пересекающихся цилиндра и полусферы и вспомогательная плоскость ξ , используемая для построения промежуточных точек M и N.

12.2. Особые случаи пересечения

При пересечении между собой кривых поверхностей линиями пересечения в общем случае являются пространственные кривые, которые в ряде случаев могут распадаться на более простые линии. Рассмотрим некоторые из этих случаев.

1.Два цилиндра с параллельными осями, два конца с общей вершиной пересекаются по образующим.

На рис. 12.4, а изображены пересекающиеся между собой цилиндры вращения с параллельными осями. Линиями пересечения являются общие образующие L1 и L2.

S''

l1'' l2''

1'' 2''

2'

l2' S'

116

На рис. 12.4, б изображены пересекающиеся между собой наклонные конусы с круговыми основаниями и общей вершиной S. Линиями пересечения являются общие образующие S1 и S2.

2.Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго по-

рядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

На рис. 12.5 изображены пересекающиеся между собой цилиндр и конус, касающиеся сферы радиуса R. Линии касания – окружности, плоскости которых параллельны фронтальной и профильной плоскостям проекций.

S''

Проекция линии 1'' 3'' касания сферы

и конуса

61' 51'

4'1' 3'2'

6' 5'

Рис. 12.5

Плоскости касания пересекаются между собой по фронтально-проецирующей прямой АВ. Фронтальная проекция линии пересечения – два эллипса, плоскости которых проходят через прямую АВ и являются фронтально-проецирующими плоскостями. Большие оси эллипсов – отрезки 1-2 и 3-4, а малые равны диаметру цилиндра. Горизонтальная проекция линии пересечения находится из условия принадлежности ее точек поверхности конуса.

3.Соосные поверхности вращения (т.е. поверхности с общей осью) пересекаются по окружностям.

Если ось вращения соосных поверхностей перпендикулярна к какой либо плоскости проекций, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде окружности, а на другую плоскость проекций – в прямую линию.

На рис. 12.6 даны примеры пересечения соосных поверхностей вращения (ось вращения перпендикулярна плоскости π1). На рис. 12.6, а приведены цилиндр и конус, б – конус и сфера, в – две сферы, г – сфера и тор.

117

Анализ графического условия показывает, что для решения задачи нельзя выбрать секущие плоскости, пересекающие поверхности по простым линиям (прямым или окружностям). Так горизонтальные или профильные плоскости пересекают один конус по окружностям, а другой в общем случае пересекают по гиперболам. Вместе с тем в задаче выполняются все условия, позволяющие применить способ сфер.

Линия пересечения – пространственная кривая – симметрична относительно плоскости, образованной пересекающимися осями конусов. Фронталь – проекции симметричных половин совпадают и образуют кривую 2-ого порядка. Точки 1 и 2, образующиеся в пересечении очерков конусов очевидны. Остальные точки определены с помощью вспомогательных сфер с центром в точке О″ - точке пересечения осей конусов.

С помощью сферы Сф.1 (наименьшей из всех возможных) построена самая левая точка фронтальной проекции линии пересечения. Эта сфера касается поверхности конуса с вертикальной осью по окружности радиуса R и пересекает другой конус по окружности радиуса R1. В пересечении этих окружностей получается фронтальная проекция

3″.

Для определения фронтальной проекции точки 4, расположенной на ближайшей образующей конуса с горизонтальной осью, использована сфера Сф.2. Радиус этой сферы подобран так, чтобы окружность пересечения ее с поверхностью конуса с вертикальной осью лежала в плоскости α (α″).

С помощью сферы Сф.3 определена фронтальная проекция 5″точки 5. Радиус вспомогательных сфер не должен превышать отрезка 0″1″, т.к. получаются точки вне проекций конусов.

Применение способа сфер позволяет построить линию пересечения поверхностей вращения, пользуясь только одной проекцией.

12.4. Примеры решения задач

Пример 1. Построить линию пересечения поверхности конуса вращения и сферы

(рис. 12.9).

Решение. Линия пересечения заданных поверхностей представляет собой пространственную кривую линию, имеющую фронтальную плоскость симметрии δ (δ′), образованную пересекающимися осями конуса и сферы.

119