Файл: Groda_Prikladnaya_mekhanika.pdf

A= M ϕ,

амощность соответственно равна

N= M ω.

• Теорема об изменении кинетической энергии точки

Рассмотрим производную от кинетической энергии точки

Полученное соотношение и выражает теорему об изменении кинетической

энергии в дифференциальной форме: производная от кинетической энергии по времени равна сумме мощностей сил действующих на материальную точку.

Рассмотрим полученное соотношение как дифференциальное уравнение, разделим в нем переменные и проинтегрируем

Очевидно, что произвольная постоянная интегрирования в полученном соотношении имеет смысл начальной кинетической энергии. Само это соотношение вы-

ражает теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме: из-

менение кинетической энергии равно сумме работ сил действующих на материальную точку.

• Теорема об изменении кинетической энергии механической

системы

Как было отмечено выше кинетическая энергия системы есть сумма кинетических энергий отдельных точек механической системы. Это позволяет записать следующее

Производная от кинетической энергии по времени равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил действующих на механическую систему.

Аналогичным образом может быть проведено и обобщение на случай механи-

Изменение кинетической энергии равно сумме работ всех внешних и внутренних сил действующих на механическую систему.

50

Таким образом в отличии от изученных ранее теорем в теорему об изменении кинетической энергии входят внутренние силы. Наличие в формулировке теоре-

мы внутренних сил существенно затрудняет ее использование при решении задач.

51

Лекция 14

Теорема об изменении кинетической энергии (продолжение)

•Неизменяемая механическая система и система с идеальными

связями

Как было подчеркнуто ранее включение в рассмотрение работ и мощностей внутренних сил существенно затрудняет применение теоремы об изменении кинетической энергии для решения задач. Поэтому, является целесообразным рассмотреть два важных частных случая механических систем.

1. Неизменяемая система.

Неизменяемая система – система в которой расстояние между каждыми

двумя взаимодействующими точками остаются во все время движения посто-

янным. Очевидно, что примером неизменяемой системы может служить твердое тело.

Можно показать, что в неизменяемой системе сумма работ, а значит и мощностей, всех внутренних сил равна нулю. Это позволяет записать теорему об изменении кинетической энергии в следующем виде

K − K0 = ∑Ak(e) (Fk(e) ) k

2. Система с идеальными связями.

Система с идеальными связями – система в которой сумма работ всех реакций связей, не изменяющихся со временем, на элементарных перемещениях равна нулю. Т.о. изменение кинетической энергии системы с идеальными, не изменяю-

щимися со временем связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.

Практическая ценность теоремы об изменении кинетической энергии состоит в том, что при неизменяющихся со временем идеальных связях она позволяет исключить из уравнений движения все наперед неизвестные реакции связей.

•Пример решения задачи

52

• Потенциальное силовое поле и силовая функция

Силовым полем называется область пространства в которой на помещенную в нее материальную точку действует некоторая сила зависящая в общем случае от положения точки и от времени.

Если зависимость от времени отсутствует, то поле называется стационарным, если нет зависимости от времени то однородным. Если сила действующая на пробную материальную точку является потенциальной то соответствующее силовое поле является потенциальным.

Вспомнить определение потенциальной силы

Основное свойство потенциального поля состоит в том, что элементарная ра-

бота в потенциальном силовом поле является полным дифференциалом.

δA = dU ,

где функция U называется силовой функцией.

Работа на любом конечном перемещении в потенциальном силовом поле может быть вычислена следующим образом

( M2 )

A( M1M2 ) = ∫ dU =U( M2 ) −U( M1 ) , ( M1 )

Следовательно, работа сил потенциального силового поля равна разности

значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и от вида траектории движущейся точки не зависит.

Сама силовая функция может быть определена следующим образом

U = ∫δA +C ,

т.е. с точностью до произвольной постоянной интегрирования имеющей смысл некоторой нулевой точки U0 .

Потенциал силы тяжести.

U = −Pz .

Потенциал силы упругости.

U = −2c x2 .

Потенциал силы тяготения.

U = −mgRr 2 .

• Потенциальная энергия.

Закон сохранения механической энергии

Потенциальной энергией П материальной точки в данном положении М называется скалярная величина, равная той работе, которую произведут силы поля при перемещении точки из положения в нулевое.

AMO =U0 −U = U0 = 0 = −U =Π

Т.о. потенциальная энергия в любой точке равна взятому с обратным знаком значению силовой функции в этой же точке.

Отсюда следует, что

53

A( M1M2 ) = Π(M1 ) −Π(M2 ) ,

т.е. работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном ее положении

Потенциальная энергия силы тяжести.

Π = Pz

Потенциальная энергия силы упругости.

U = cx22 .

Потенциальная энергия силы тяготения.

Π = −mgRr 2 .

Применим к некоторой системе теорему об изменении кинетической энергии в

интегральной форме для случая движения в потенциальном полле

T −T0 = Π0 −Π

Отсюда следует

T +Π = Π0 +T0 = const

Т.е. при движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергий системы в каждом ее положении остается величиной постоянной. В этом и состоит закон сохранения механической энергии.

Сумма потенциальной и кинетической энергии называется полной механической энергией системы.

Если помимо потенциальных сил в системе действуют диссипативные силы (силы сопротивления), то закон сохранения механической энергии принимает следующий вид

T +Π = Π0 +T0 + AД ,

гдеAÄ – работа диссипативных сил.

54

Лекция 15

Теоремы о движении центра масс и об изменении количества движения

•Теорема о движении центра масс

Движение механической системы, состоящей из n частиц описывается системой n диф. ур-ний вида

Такая система может быть решена только численными методами и только с применением ЭВМ. Но и в этом случае удается рассмотреть системы содержащие не более 1000 частиц (понятие о методе молекулярной динамики). Поэтому в основе инженерных расчетов лежит использование теорем механики. Одна такая теорема нам известна − это теорема о кинетической энергии. Рассмотрим иные теоремы.

k

Уравнение (4) и выражает теорему о движении центра масс системы. Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно сумме всех внутренних сил действующих на систему. Спроектировав (4) на координатные оси можно получить диф. ур. движения центра масс в проекциях на оси координат.

Значение теоремы.

1.Теорема дает обоснование методам динамики точки. Если тело рассматривается как мат. точка то полученный закон движения − закон движения центра масс этого тела. Т.к. при поступательном движении движение тела определяется движением его центра масс, то поступательно движущееся тело всегда моделируется мат. точкой.

2.Теорема позволяет при изучении движения центра масс исключить из рассмотрения неизвестные внутренние силы. Поэтому при решении задач с ее помощью нужно стремиться неизвестные наперед силы сделать внутренними.

•Закон сохранения движения центра масс

Предположим, что ∑Fk(e) = 0 , тогда

55