Файл: Groda_Prikladnaya_mekhanika.pdf

Колебания, происходящие по полученному закону, называются зату-

хающими, так как благодаря наличию множителя e−bt величина х=ОМ с течением времени убывает, стремясь к нулю.

Промежуток времени Т1, равный периоду sin (k1t +α), т. е.

Из полученного соотношения видно, что Т1>Т, т. е. что при наличии сопротивления период колебаний несколько увеличивается. Однако когда сопротивление мало (b<<k), то величиной b2/k2 по сравнению с единицей можно пренебречь и считать. Следовательно, малое сопротивление на период колебаний практически не влияет.

Промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями колеблющейся точки вправо (или влево) также оказывается равным T1. Следовательно, если первое максимальное отклонение вправо x1 происходит в момент t1, то второе отклонение x2 наступит в момент t2= t1+T1 и т. д. Тогда получаем:

x2 = Ae−bt2 sin (k1t2 +α)= Ae−bt1−bT1 sin (k1t1 + k1T1 +α)= Ae−bt1e−bT1 sin (k1t1 + 2π+α)= x1e−bT1

Аналогично для любого отклонения xn+i будет xn+1 = xne−bT1 . Таким образом, оказывается, что размахи колебаний будут убывать по закону

геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии e−bT1 называется декрементом рассматриваемых колебаний, а модуль его логарифма, т.

е. величина bT1 - логарифмическим декрементом.

Из всех полученных результатов следует, что малое сопротивление почти не влияет на период колебаний, но вызывает постепенное их затухание вследствие убывания размахов колебаний по закону геометрической прогрессии.

2. Рассмотрим теперь случай, когда b>k, т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой велико. Вводя обозначение

b2 −k2 = r2 , найдем, что в этом случае корни характеристического уравнения равны n = −b ± r , т. е. оба действительны и отрицательны.. Следова-

40

тельно, решение уравнения, описывающее закон движения точки, имеет при b>k вид

x =C1e−(b+r)t +C2e−(b−r)t

Так как данная функция со временем монотонно убывает, стремясь к нулю, то движение точки в этом случае не будет колебательным и она под действием восстанавливающей силы будет постепенно (асимптотически) приближаться к равновесному положению.

3. В заключение рассмотрим случай, когда b=k. Корни характеристического уравнения будут при этом тоже действительными, но кратными ( n1,2 = −b ) и общее решение уравнения примет вид

x = e−bt (C1 +tC2 )

Движение точки в данном случае тоже не будет колебательным я она со временем стремится асимптотически к равновесному положению х=0.

•Вынужденные колебания при наличии сопротивления

Рассмотрим движение точки, на которую действуют восстанавливающая сила F, сила сопротивления R, пропорциональная скорости, и возмущающая гармоническая сила Q. Дифференциальное уравнение этого движения имеет вид

mx&&= −cx −μx& +Q0 sin pt

Данное уравнение называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при наличии вязкого сопротивления. Как и в случае отсутствия сопротивления мы имеем дело с неоднородным уравнением, а значит

x = x1 + x2

где x1 – общее решение однородного уравнения

&&x1 + 2bx&1 + k2x1 = 0

которое представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при вязком сопротивлении и было подробно рассмотрено ранее.

Частное решение будем искать в виде

Подставляя предложенный вид и соответствующее производные в исходное неоднородное уравнение получаем

B(−p2 + k2 )sin ψ + 2bpBcosψ = P0 (cosβsin ψ +sinβcosψ) , где pt–β=ψ и pt=ψ+β.

Чтобы это равенство выполнялось при любом ψ, т. е. в любой момент времени, коэффициенты при sinψ и cosψ в левой и правой частях должны быть порознь равны друг другу; следовательно

41

Т.о. в случае слабого вязкого сопротивления закон вынужденных колебаний имеет вид

x = Ae−bt sin (k1t +α)+ Bsin (pt −β)

где А и α — постоянные интегрирования, определяемые по начальным данным.

Рассматриваемые колебания являются сложными и слагаются из собственных и вынужденных. При этом собственные колебания довольно быстро затухают и по истечении некоторого промежутка времени tу называемого временем установления, ими практически можно пренебречь и точка будет совершать колебания по закону

x = Bsin (pt −β)

Эти колебания и называются вынужденными. Они представляют собой незатухающие гармонические колебания с амплитудой В и частотой р, равной частоте возмущающей силы. Величина β характеризует сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к фазе возмущающей силы.

Введем обозначения:

где z — отношение частот; h — величина, характеризующая сопротивление; λ0 — величина статического отклонения точки под действием силы Q0. Тогда можем записать

Из представленных формул видно, что В и β зависят от двух безразмерных параметров z и h. Для большей наглядности представим эти зависимости графически введя понятие

коэффициента динамичности

η = B / λ0

показывающего, во сколько раз амплитуда В

больше λ0.

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Когда сопротивление очень мало, а величина z не близка к единице, можно приближенно считать h≈0 и можно получить что

42

2.Если отношение частот z очень мало (р<<k), то, полагая прибли-

женно z≈0, получим В≈λ0 – колебания в этой случае происходят с амплитудой равной статическому отклонению, и сдвигом фаз β≈0

3.Если отношение частот z очень велико (р>>k), величина В становится малой. Этот случай представляет особый интерес для проблем виброзащиты различных сооружений, приборов и др.

4.Во всех практически интересных случаях величина h много меньше единицы. Тогда если величина z близка к единице, амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. Явление, которое при этом имеет место, называется резонансом.

При резонансе амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз можно практически вычислять по следующим приближенным формулам

•Общие свойства вынужденных колебаний

Из полученных выше результатов вытекает, что вынужденные колебания обладают следующими важными свойствами, отличающими их от собственных колебаний точки:

1) амплитуда вынужденных колебаний от начальных условий не зави-

сит;

2)вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают;

3)частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от характеристик колеблющейся системы не зависит (возмущающая сила «навязывает» системе свою частоту колебаний);

4)даже при малой возмущающей силе (Q0 мало) можно получить интенсивные вынужденные колебания, если сопротивление мало, а частота р близка к k (резонанс);

5)даже при больших значениях возмущающей силы вынужденные колебания можно сделать сколь угодно малыми, если частота р будет много больше k.

Вынужденные колебания и, в частности, резонанс играют большую роль во многих областях физики и техники. Например, при работе машин и двигателей обычно возникают периодические силы, которые могут вызвать вынужденные колебания частей машины или фундамента. Во многих инженерных сооружениях явление резонанса крайне нежелательно и его следует избегать, подбирая соотношение между частотами р и k так, чтобы амплитуды вынужденных колебаний были практически равны нулю

Противоположный пример мы имеем в радиотехнике, где резонанс оказывается очень полезным и используется для отделения сигналов одной радиостанции от сигналов всех остальных (настройка приемника).

На теории вынужденных колебаний основывается также конструирование ряда приборов, например вибрографов — приборов для измерения смещений колеблющихся тел (фундаментов, частей машин и др,) и, в частности, сейсмографов, записывающих колебания земной коры, и т. п.

43