Файл: Groda_Prikladnaya_mekhanika.pdf

Лекция 12

Динамика механических систем

•Понятие механической системы

Понятие механической системы. Деление сил на внешние и внутренние. Условность этого деления на примере Солнечной системы.

Свойства внутренних сил

1.Главный вектор всех внутренних сил равен нулю;

2.Главный момент системы относительно любого центра или оси равен нулю.

•Задачи динамики системы и общие теоремы динамики систем

Общая задача динамики системы – определение движения каждой из точек системы. В такой постановке она чрезмерно сложна и поддается решению лишь в исключительных случаях. Однако на практике ее решение как правило и не требуется, например, для описания движения кривошипно-ползунного механизма достаточно задать зависимость угла поворота кривошипа от времени. Для решения таких сокращенных задач в инженерной практике применяются специальные методы основанные на т.н. общих теоремах динамики.

Существуют 4-и общие теоремы динамики

1.Теорема о движении центра масс;

2.Теорема о количестве движения (теорема об изменении импульса);

3.Теорема о изменении момента количества движения (момента импульса);

4.Теорема о изменении кинетической энергии системы;

•Массы системы и центра масс

Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел образующих систему.

В понятии массы системы никоим образом не учитывается распределение масс. Оказывается, что для учета распределения масс достаточно задать координаты центра масс и осевые моменты инерции.

k

называется центром масс или центром инерции механической системы.

•Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции

44

Масса – мера инертности системы, но при вращательном движении одной массы мало. Рассмотрим пример с фигуристом сводящем руки при вращении вокруг оси.

Мерой инертности тела при вращательном движении является осевой момент инерции.

Моментом инерции системы относительно данной оси Оz называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела на квадраты расстояний от этой оси:

Jz = ∑mk hk2

k

Для определения осевых моментов инерции можно расстояние точек от осей

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси Oz называется линейная величина ρz

Jz = M ρ2z

Смысл этого понятия – расстояние от оси до точки в которой надо сосредоточить массу всего тела, что бы момент инерции этой точки был равен моменту инерции тела.

В случае сплошного тела при определении момента инерции его надо развивать на элементарные ячейки. В этом случае сумма превратится в интеграл

Jz = ∫ h2dm = ∫ ρh2dV

( V ) ( V )

Проведем вычисление осевых моментов инерции основных геометрических тел.

• Однородный круглый цилиндр

•Однородный тонкий стержень относительно конца

J = Ml3 2

•Сплошная прямоугольная пластина со сторонами АВ=а и ВД=b

• Прямой сплошной однородный круглый конус

J= 0.3MR2

•Сплошной шар

J= 0.4MR2

45

•Теорема Гюйгенса

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции тела относительно оси ей параллельной и проходящей через центр масс тела сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Доказательство: рассмотрим две системы координат не штрихованная - произвольная, штрихованная – параллельна первой и связана с центром масс

xk = xk′ + d , yk = yk′, zk = zk′

Последнее слагаемое равно нулю, т.к. вторая система координат связана с центром масс, поэтому получаем

JOz = JOz′ + d 2 M

46

Лекция 13

Теорема об изменении кинетической энергии

•Кинетическая энергия материальной точки и механической сис-

темы

Кинетической энергией мат. точки называется скалярная величина равная по-

ловине произведения массы точки на квадрат скорости ее движения

K = m2υ2

Единицей измерения энергии является джоуль

1Äæ =1êã* ì 2 / c2 .

Данное соотношение естественным образом может быть обобщено и на систему материальных точек: кинетическая энергия системы – сумма кинетических энергий точек составляющих эту систему.

Рассмотри в качестве механической системы твердое тело.

Поступательное движение

Все точки движутся с одинаковыми скоростями равными скорости центра масс тела, поэтому

Вращательное движение

Скорость любой точки может быть определена через угловую скорость тела

Плоскопараллельное движение

Если в качестве полюса выбрать центр масс (С=Р), то выражение для кинетической энергии принимает вид

где υC и JCz скорость центра масс и осевой момент инерции относительно ось про-

ходящей через центр масс.

В качестве полюса также может быть рассмотрен и мгновенный центр скоро-

стей (СV=P). Тогда υCV = 0 и для кинетической энергии получаем

K = JCV zω2 .

2

47

При этом необходимо помнить, что в последнем случае ось вращения проходит через МЦС, а значит для осевого момента инерции может быть использована теорема Гюйгенса

Т.о. очевидно, что оба выражения являются эквивалентными.

• Работа силы. Мощность

Работа – характеристика действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении.

Элементарной работой силы F приложенной в точке М называется скалярная величина

dA = Fτds ,

где ds – модуль элементарного перемещения точки М.

Если учесть, что ds=|dr|, а Fτ=Fcosα, то последнее соотношение может быть записано как

δA = Fτds = F cos α dr = Fdr cos α = Fdr ,

Т.о. элементарная работа равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения. Из этого определения сразу следует, что работа равна нулю если линия действия силы и перемещение тела ортогональны. Пример такой силы – сила Лоренца, действующая на электрон в магнитном поле.

Согласно правилам раскрытия скалярного произведения для элементарной работы может быть записано следующее выражение

δA = Fxdx + Fy dy + Fz dz ,

Все эти соотношения применимы лишь для элементарной работы, т.е. работы на бесконечно малом перемещении. Работа же на любом конечном перемещении равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы

Если сила постоянна по величине и направлению, а точка к которой приложена сила движется прямолинейно, то в этом случае

Fτ = F cos α = const

и

A( M0M1 ) = Fs1 cos α,

где s1 – конечное перемещение.

Мощность – работа совершаемая силой в единицу времени («скорость работы»)

48

N= dAdt = Fdtdr = F ddtr = Fυ= Fυcos α

Всистеме СИ работа измеряется 1 джоулях (1 Дж=1 кг м2/c2), а мощность в ват-

тах (1 Вт=1 Дж/c).

• Примеры вычисления работы

Работа силы тяжести.

Есть две точки М1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2). Ось z направим вверх. Тогда для силы тяжести имеем Px=Py=0, Pz=-P.

Т.о. работа силы тяжести равна плюс/минус весу тела умноженному на вертикальное перемещение тела. Знак плюс – если тело падает, минус – если подымается. Как видно, работа силы тяжести не зависит от вида траектории, а определяется только конечным и начальным положениями тела. Силы обладающее таким свойст-

вом называются потенциальными.

Работа силы упругости.

Рассмотрим свободные одномерные колебания. При выборе начала координат в положении статического равновесия для силы упругости может быть записано следующее выражение

Fx = −cx, Fy = Fz = 0

и тогда

Можно показать, что эта формула допускает обобщение на случай не прямолинейного движения, т.е. сила упругости также потенциальна.

Работа силы трения скольжения.

Fтр = − fN

и

т.о. работа зависит от пройденного пути, т.е. от траектории, а значит сила трения непотенциальна.

Работа силы трения качения.

Если происходит качения без проскальзывания, то силы трения качения приложена в точке соприкосновения тела и плоскости, т.е. в точке МЦС. А т.к. скорость этой точки равна 0, то элементарное перемещение также 0 и работа равна нулю.

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу.

dA = Fτds = Fτhdϕ = Mdϕ,

В случае постоянного момента имеем

49