Файл: Groda_Prikladnaya_mekhanika.pdf

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытных фактов и наблюдений. Систематически законы динамики были впервые изложены И. Ньютоном в его классическом сочинении «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 г. Сформулировать эти законы можно следующим образом.

Первый закон (закон инерции): изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.

Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Закон инерции отражает одно из основных свойств материи – пребывать, неизменно в движении. Важно отметить, что развитие динамики как науки стало возможным лишь после того, как Галилеем был открыт этот закон (1638 г.) и тем самым опровергнута господствовавшая со времен Аристотеля точка зрения о том, что движение тела может происходить только под действием силы.

Существенным является вопрос о том, по отношению к какой системе отсчета справедлив закон инерции. В связи с этим в механике вводят понятие о системе отсчета, в которой справедлив закон инерции, постулируют ее существование и называют инерциальной системой отсчета.

Второй закон (основной закон динамики) устанавливает, как изме-

няется скорость точки при действии на нее какой–нибудь силы, а именно: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством ma = F

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость

ma = F

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отно-

шению к инерциальной системе отсчета.

Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, поскольку при действии данной силы точка, масса которой больше, т.е. более инертная, получит меньшее ускорение и наоборот.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействующей R, равной геометрической сумме данных сил. Уравнение, выражающее основной закон динами-

ки, принимает в этом случае вид

ma = ∑Fk k

Третий закон (закон равенства действия и противодействия) ус-

танавливает характер механического взаимодействия между материальны-

31

ми телами. Для двух материальных точек он гласит: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Данный закон играет большую роль в динамике системы материальных точек, как устанавливающий зависимость между действующими на эти точки внутренними силами.

•Задачи динамики

Для свободной материальной точки задачами динамики являются следующие:

•первая задача динамики: зная закон движения точки, опре-

делить действующую на нее силу

•вторая или "основная" задача динамики: зная действующие

на точку силы, определить закон движения точки.

Для несвободной материальной точки, т. е. точки, на которую наложена связь, вынуждающая ее двигаться по заданной поверхности или кривой, первая задача динамики обычно состоит в том, чтобы, зная движение точки и действующие на нее активные силы, определить реакцию связи. Вторая (основная) задача динамики при несвободном движении распадается на две и состоит в том, чтобы, зная действующие на точку активные силы, определить: а) закон движения точки, б) реакцию наложенной связи.

•Основные виды сил

При решении задач динамики мы будем в основном рассматривать следующие постоянные или переменные силы.

Сила тяжести. Это постоянная сила Р, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности. Модуль силы тяжести равен весу тела.

Опытом установлено, что под действием силы Р любое тело при свободном падении на Землю (с небольшой высоты и в безвоздушном пространстве) имеет одно и то же ускорение g, называемое ускорением свободного падения. Тогда из второго закона Ньютона следует

P = mg

Сила трения. Так будем кратко называть силу трения скольжения, действующую (при отсутствии жидкой смазки) на движущееся тело. Ее модуль определяется равенством

F = fN

где f – кффициент трения, который будем считать постоянным; N – нормальная реакция.

Сила тяготения. Это сила, с которой два материальных тела притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения, открытому Ньютоном. Сила тяготения зависит от расстояния и для двух материальных точек с массами m1 и m2, находящихся на расстоянии r друг от друга, и выражается равенством

32

F =G m1m2 r2

где G – гравитационная постоянная (в СИ G=6.673x10-11 м3/кг с2).

Сила упругости. Эта сила тоже зависит от расстояния. Ее значение можно определить исходя из закона Гука, согласно которому напряжение (сила, отнесенная к единице площади) пропорционально деформации. В

частности, для силы упругости пружины получается значение

F = cλ

где λ – удлинение (или сжатие) пружины; с – коэффициент жесткости пружины (в СИ измеряется в Н/м).

Сила вязкого трения. Такая сила, зависящая от скорости, действует на тело при его медленном движении в очень вязкой среде (или при нали-

чии жидкой смазки) и может быть выражена равенством

R =μυ

где υ – скорость тела; μ – коэффициент сопротивления.

Сила аэродинамического (гидродинамического) сопротивления. Эта сила тоже зависит от скорости и действует на тело, движущееся в такой, например, среде, как воздух или вода. Обычно ее величину выражают равенством

R = 0.5cxρSυ2

где ρ – плотность среды; S – площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (площадь миделя); сх – безразмерный коэффициент сопротивления, определяемый обычно экспериментально и зависящий от формы тела и от того, как оно ориентировано при движении.

• Дифференциальные уравнения движения

материальной точки

В основе решения задач динамики точки лежит использование второго закона динамики. Этот закон векторный, а значит нам надо перейти от векторной формы записи к скалярной, для чего в свою очередь необходимо конкретизировать вид используемой системы координат.

Уравнения движения в декартовых координатах. Рассмотрим мате-

риальную точку, движущуюся под действием сил F1, F2, …, Fn по отношению к инерциальной системе отсчета Охуz. Проектируя обе части равенства ma = ∑Fk оси х, у, z и учитывая, что ax = d 2x / dt2 и т. д., получим:

Это и будут искомые уравнения, т. е. дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Так как действующие силы могут зависеть от времени, от положения точки и от

33

скорости, то в общем случае правая часть каждого из уравнений может быть функцией этих переменных, т. е. t, x, у, z, υх, υу, υz одновременно.

Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника. Для получения этих уравнений спроектируем обе части равенства ma = ∑Fk

k

на оси Мτnb, т. е. на касательную Мτ к траектории точки, главную нормаль Мn и бинормаль Mb. Тогда, учитывая, что

получим

Полученные уравнения, представляют собой дифференциальные

уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.

•Решение основной задачи динамики при прямолинейном

движении точки

Движение материальной точки будет прямолинейным, когда действующая на нее сила (или равнодействующая приложенных сил) имеет постоянное направление, а скорость точки в начальный момент времени равна нулю или направлена вдоль силы.

Если при прямолинейном движении направить вдоль траектории координатную ось Ох, то движение точки будет определяться одним скалярным дифференциальным уравнением вида

Данное уравнение называют дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки. Иногда его удобнее заменить двумя уравнениями, содержащими первые производные:

Т.о. решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных уравнений, зная силы, найти закон движения точки, т. е. x=f(t). Для этого надо проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение второго порядка. При этом очевидно, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка будет иметь вид

x = x(t,C1,C2 ) ,

где С1 и С2 – произвольные постоянные интегрирования.

Чтобы довести решение каждой конкретной задачи до конца, надо определить значения постоянных С1 и С2. Для этого используются началь-

ные условия.

Изучение всякого движения будем начинать с некоторого определен-

34