Файл: Algebra.pdf

где неизвестная xs содержится только в r м уравнении, притом с коэффици ентом единица, а остальные коэффициенты при неизвестных и свободные члены связаны с коэффициентами и свободными членами исходной системы (3.1.1), как видно из соотношений (3.2.1) и (3.2.2), формулами:

которые называются формулами исключения.

Формулы исключения удобно применять с помощью уже знакомого нам правила прямоугольников (см. § 1.3). Схематически напомним его суть:

мого элемента aij (или bi ) вычесть произведение элементов, расположенных в

оставшихся противоположных вершинах прямоугольника, деленное на раз решающий элемент.

Можно предположить, не теряя общности, что в системе линейных алгеб раических уравнений (3.1.1) коэффициент a11 отличен от нуля. Примем этот коэффициент за разрешающий и исключим по указанным выше правилам не известную x1 из всех уравнений системы, кроме первого уравнения. Система (3.1.1) преобразуется в новую систему линейных алгебраических уравнений, эквивалентную данной, притом число уравнений в новой системе может быть меньше, чем в исходной, так как в процессе преобразований могли появиться уравнения вида

0x1 +0x2 + +0xn =0 ,

называемые нуль уравнениями, которые мы отбрасываем. Далее мы ис ключим из всех уравнений новой системы, кроме второго, следующую неиз вестную, например x2 , если коэффициент при ней в новой системе отличен от нуля, и т. д., если не появилось уравнение вида

52

Процесс последовательного исключения неизвестных закончится либо то гда, когда мы придем к системе, содержащей уравнение вида (3.2.5), что будет означать несовместность исследуемой системы (3.1.1), либо тогда, когда систе ма примет вид

Система уравнений (3.2.6) эквивалентна системе (3.1.1), притом m -k . Будем говорить, что система линейных алгебраических уравнений (3.1.1) приведена к

предпочитаемому или каноническому виду (3.2.6); неизвестные x1, x2,…, xm бу дем называть базисными, xm+1, xm+2,…, xn — свободными. Особенность системы (3.2.6) в том, что в каждом уравнении содержится неизвестная с коэф фициентом, равным единице, которая ни в какое другое уравнение не входит, т. е. коэффициенты при базисных неизвестных образуют единичную подмат рицу матрицы системы (возможно, после некоторой перестановки уравнений и перенумерации неизвестных). Кратко эту систему записывают в виде

n

xi + ∑ gijxj =hi , i =1,2,…, m .

j=m+1

Число уравнений в системе (3.2.6) не больше числа неизвестных: m -n . При m =n система (3.2.6) имеет вид

x1 =h1, x2 =h2,…, xn =hn ,

т. е. система линейных алгебраических уравнений (3.1.1) является совместной и определенной. Если же m <n , то возьмем для свободных неизвестных ка кие нибудь значения xm+1 =αm+1, xm+2 =αm+2,…, xn =αn , тогда базисные неиз вестные примут вполне определенные значения x1 =α1, x2 =α2,…, xm =αm . Сис

тема чисел α1,α2,…,αm ,αm+1,αm+2,…,αn будет служить решением системы (3.2.6) и, следовательно, системы (3.1.1). Так как значения свободных неизвест ных можно выбирать произвольным образом, то таким путем можно найти много решений системы (3.1.1), называемых ее частными решениями, т. е. в этом случае система является совместной и неопределенной. Выражения ба зисных неизвестных через свободные:

53