Файл: Algebra.pdf

естественно назвать общим решением системы линейных алгебраических уравнений (3.1.1). Среди частных решений системы выделяется базисное, от вечающее нулевым значениям свободных неизвестных:

Руководствуясь правилами исключения, мы можем продолжить процесс преобразований системы (3.1.1) и найти другие ее предпочитаемые эквивален ты и соответствующие им базисные решения.

Предположим, что в системе уравнений (3.2.6) коэффициент при свободной неизвестной xs в r м уравнении отличен от нуля. Примем этот коэффициент за разрешающий и исключим неизвестную xs из всех уравнений системы (3.2.6), кроме r го уравнения, после чего система уравнений (3.2.6) преобразуется к виду

Полученная система линейных алгебраических уравнений (3.2.8) эквива лентна системе (3.1.1). Будем говорить, что система (3.1.1) приведена к новому предпочитаемому виду (3.2.8). Неизвестная xs стала базисной, а xr — свобод ной, т. е. неизвестные xr и xs поменялись ролями. Выражая новые базисные неизвестные через новые свободные, можно получить новую запись общего решения системы (3.1.1). Приравнивая новые свободные неизвестные к нулю, получаем соответствующее системе (3.2.8) новое базисное решение:

Далее мы можем принять следующую свободную неизвестную за разре шающую и перевести ее в число базисных, преобразовав систему уравнений к следующему предпочитаемому виду, и т. д. Исследуемая система уравнений имеет не более Cnm предпочитаемых эквивалентов и соответственно базисных решений, ибо не может быть двух различных предпочитаемых эквивалентов системы (3.1.1) с одним и тем же набором базисных неизвестных.

ПРИМЕР 3.2.1. Найти общее решение и два различных базисных решения системы линейных уравнений из примера 3.1.1.

Решение. Воспользуемся методом Жордана — Гаусса. Вычислительный процесс иллюстрируется табл. 3.2.1.

В результате исходная система линейных уравнений

54

приведена с помощью элементарных преобразований к эквивалентной системе

т. е. к системе линейных уравнений в предпочитаемой форме. Выбрав переменные x1 и x2 в качестве базисных, а x3 и x4 — в качестве свободных, выразим базисные пере менные через свободные:

Т а б л и ц а 3.2.1

Общее решение данной системы линейных уравнений получим, придавая свобод ным переменным x3 и x4 произвольные действительные значения α и β соответственно:

Если в качестве базисных переменных выбрать x1 и x4, то вычислительный про цесс метода Жордана — Гаусса будет таким, как показано в табл. 3.2.2.

Отметим, что можно было бы продолжить процесс преобразований, начатый в табл. 3.2.1, такой подход иллюстрируется табл. 3.2.3.

55

Т а б л и ц а 3.2.2

Т а б л и ц а 3.2.3

Отметим, что две полученных формулы общего решения по разному описывают одно и то же множество всех решений исходной системы линейных уравнений.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Всегда ли верно, что элементарные преобразования расширенной мат рицы системы линейных уравнений переводят эту систему в эквивалентную?

2.Какой вид системы линейных уравнений называется предпочитаемым?

3.В чем состоит метод Жордана — Гаусса?

4.Как привести систему линейных уравнений к предпочитаемому виду?

5.В чем состоит правило прямоугольников?

56

Рассмотрим, например, переход от системы (3.2.6) к (3.2.8). Свободные члены системы (3.2.8) связаны с коэффициентами при неизвестных и свободными членами системы (3.2.6) формулами исключения:

hi′ =hi − gis hr , i ≠ r .

grs

Мы предполагаем, что правые части всех уравнений системы (3.2.6) не отрицательны, и требуем, чтобы правые части уравнений системы (3.2.8) так же были неотрицательными. Оставив в стороне случай hr =0 , когда правые части уравнений не изменяются, сразу же замечаем, что разрешающий эле мент должен быть положительным:

grs >0 ,

т. е. в качестве разрешающей можно принять только такую неизвестную, при которой хотя бы в одном уравнении имеется положительный коэффициент. Если же разрешающая неизвестная выбрана, то разрешающее уравнение должно быть выбрано так, чтобы

притом особо подчеркнем, что минимум берется по всем тем индексам i , где gis >0 , так как справедливость неравенств вида (3.3.1) при gis -0 не вызывает сомнений.

Таким образом, для того чтобы при последовательном исключении неиз вестных для приведения системы линейных алгебраических уравнений к предпочитаемому виду или перехода от одного предпочитаемого вида к дру гому свободные члены всех уравнений системы оставались неотрицательны ми, необходимо руководствоваться следующими правилами выбора разре шающей неизвестной и разрешающего уравнения. В качестве разрешающей неизвестной можно принять любую неизвестную, при которой есть хоть один положительный коэффициент, а затем в качества разрешающего уравнения следует взять то уравнение, которое соответствует наименьшему среди отно шений свободных членов уравнений к соответствующим положительным ко эффициентам при выбранной неизвестной в этих уравнениях. Условимся го ворить, что система линейных алгебраических уравнений подвергается сим плексным преобразованиям, если процесс исключения неизвестных осущест вляется в соответствии с указанными правилами выбора разрешающей неиз вестной и разрешающего уравнения.

Может случиться, что указанное минимальное отношение достигается при нескольких значениях индекса i. Тогда любое из соответствующих им уравне ний можно принять за разрешающее. Принято говорить в этом случае, что

58