ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.09.2024
Просмотров: 187
Скачиваний: 0
x2
b
a + b
A
B
C a
c 1 |
b |
|
x1 |
||
|
D d O 1
4d
Рис. 2.3.1. Декартова прямоугольная система координат на плоскости
Теперь операции над векторами получают наглядную геометрическую ин
терпретацию.
Для того, чтобы получить сумму векторов a и b, нужно вектор b отложить из конца вектора a и в качестве результата a + b взять вектор с началом в начале вектора a и с концом в конце вектора b.
Чтобы получить вектор λa , нужно построить вектор, который имеет то же направление, что и вектор a, если λ.0 , или противоположное направление, если λ <0 , а длину — в λ раз больше, чем длина вектора a.
Построим на рис. 2.3.1, пользуясь этими правилами, векторы a + b и 4d.
Их координаты a +b =(3, 7), 4d =(−4, −4) совпадают с вычисленными по обыч ным формулам сложения векторов и умножения вектора на число из § 1.1:
a +b =(3, 7) =(1+2, 4 +3), 4d =(−4, −4) =(−1 4, −1 4) .
Аналогии между линейными пространствами произвольной природы и при вычными нам прямой линией, плоскостью и обычным трехмерным простран ством позволяют пойти дальше: ввести понятия длины вектора, угла между векторами и расстояния между точками в произвольном линейном простран стве.
Длиной вектора a =(a1, a2,…, an )
n
| a | = a12 +a22 + +an2 = ∑ai2 = a, a ,
i=1
ТЕОРЕМА 2.3.1 (НЕРАВЕНСТВО КОШИ — БУНЯКОВСКОГО). Скалярное произведение
произвольных векторов a и b не превосходит произведения их длин: |
|
a, b -| a | | b | . |
(2.3.1) |
|
45 |
Доказательство. Если a = 0, то a, b =0, | a | =| b| =0 , откуда и следует неравенство
(2.3.1), превращающееся в этом случае в равенство. |
Пусть теперь a ≠ 0 и пусть |
|
x = αa −b , где α |
— некоторое число. Тогда по свойству скалярного произведения |
|
x, x .0 [см. формулу (1.1.12)] или |
|
|
x, x = αa −b, αa −b = α a, αa −b − b, αa −b = α2 a, a −α a, b −α b, a + b, b = |
||
|
= α2 a, a −2α a, b + b, b , |
|
т. е. при любом α |
выполняется неравенство |
|
|
α2 a, a −2α a, b + b, b .0 , |
|
Так как a ≠ θ, то |
a, a ≠0 и можно положить α = a, b |
: |
|
a, a |
|
a, b
a, a
2 |
|
a, b |
|
2 |
a, a −2 |
a, b + b, b .0 , |
|
|
|
a, a |
|
откуда |
|
|
|
|
|
a, b 2 |
−2 |
a, b 2 |
+ b, b .0 или |
a, b 2 |
- b, b . |
a, a |
|
a, a |
|
a, a |
|
Умножив левую и правую части последнего неравенства на одно и то же число
a, a >0 , получим: |
|
a, b 2 - a, a b, b , |
(2.3.2) |
и чтобы теперь получить неравенство (2.3.1), достаточно взять квадратный корень из обеих (неотрицательных) частей неравенства (2.3.2) и вспомнить, что | a | = a, a ,
| b| = b, b . Теорема доказана.
Поскольку из теоремы 2.3.1 следует, что если оба вектора a и b ненулевые, то
−1- a, b -1, |
(2.3.3) |
|a | | b |
иможно определить угол ϕ=(a, b) между ненулевыми векторами a и b как та
кое число ϕ=[0, π] , что
cos ϕ=cos(a, b) = a, b . | a | | b |
Читателю рекомендуется убедиться в справедливости неравенства (2.3.3).
ПРИМЕР 2.3.1. Определить угол между векторами a =( 3, 3), b =(−1, 3 ).
Решение. Вычисляем последовательно:
a, b = 3(−1) +3 3 =2 3, | a |= a, a = ( 3 )2 +32 = 12 =2 3,
46
| b |= b, b = (−1)2 +( 3 )2 = 4 =2, cos(a, b) = a, b |
= |
2 3 |
= |
1 |
, |
2 3 2 |
|
||||
| a | | b | |
|
2 |
|
||
откуда (a, b) = π/3 =60 . Рис. 2.3.2 подтверждает это наглядно.
|
|
x2 |
|
|
1 |
π |
a |
b |
|
||
3 |
x1 |
||
|
|
|
|
|
|
O 1 |
|
Рис. 2.3.2. Угол между векторами
Два вектора пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. С геометрической точки зрения ортогональные векторы перпендикулярны друг другу.
Расстояние между точками A(a1, a2,…, an ) и B(b1, b2,…, bn ) равно, очевидно, длине вектора AB =(b1 −a1, b2 −a2,…, bn −an ) :
n
ρ(A, B) = (b1 −a1 )2 +(b2 −a2 )2 + +(bn −an )2 = ∑(bi −ai )2 = b −a, b −a .
i=1
В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и
1.Что такое прямоугольная декартова система координат?
2.Каким аксиомам должно удовлетворять скалярное произведение векто ров линейного пространства?
3.Как формулируется неравенство Коши — Буняковского?
4.Что такое евклидово пространство?
5.Как в евклидовом пространстве определяется длина вектора?
6.Как в евклидовом пространстве определяется расстояние между двумя векторами?
7.Как в евклидовом пространстве определяется угол между двумя векто рами?
8.Какие векторы называются ортогональными?
9.Всякая ли ортогональная система векторов является линейно независи
мой?
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
1.Проверьте, являются ли векторы a = (10, 10, 0) и b = (–1, –1, 2) ортого нальными, и если не являются, найти косинус угла между этими векторами.
2.Найдите расстояние между точками A(10, 0, 0) и B(–20, –40, 0).
47
Глава 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ИНЕРАВЕНСТВ
§3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Вэкономических исследованиях, планировании и управлении приходится рассматривать системы алгебраических уравнений со многими неизвестными величинами. Система из k уравнений первой степени с n неизвестными мо жет быть записана в виде
a11x1 |
+ a12x2 |
+ |
+ a1nxn |
||||||
a x |
+ a x |
+ |
+ a |
|
x |
n |
|||
|
21 |
1 |
22 |
2 |
|
2n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a |
|
+ |
+ a |
|
|
|
a |
x |
x |
x |
|
|||||
|
k1 |
1 |
k2 |
2 |
|
kn |
|
n |
|
= b1,
= b2,
(3.1.1)
= bk ,
где н е и з в е с т н ы е |
x1, x2,…, xn подлежат определению, а к о э ф ф и ц и |
е н т ы a11,a12,…,akn |
п р и н е и з в е с т н ы х и с в о б о д н ы е ч л е н ы |
b1,b2,…,bk у р а в н е н и й заданы, притом первый индекс коэффициента сов падает с номером уравнения, в котором содержится данный коэффициент, второй индекс — с номером неизвестной, при которой этот коэффициент по ставлен. Кратко запишем систему линейных алгебраических уравнений в сле дующем виде:
n
∑aijxj =bi , i =1,2,…,k .
j=1
Совокупность чисел α1,α2,…,αn , взятых в определенном порядке, называют решением системы уравнений (7.2.1), если они, будучи подставлены в уравне ния системы на место соответствующих неизвестных, обращают все уравне ния в тождества. Решение (α1,α2,…,αn ) системы (3.1.1) называют неотрица тельным, если все его компоненты αi неотрицательны.
Система линейных алгебраических уравнений (3.1.1) называется совмест ной, если она имеет решение. Совместная система называется определенной или неопределенной в зависимости от того, имеет ли она одно или более реше ний. Система вида (3.1.1) называется несовместной или противоречивой, если она не имеет решения.
Две системы линейных алгебраических уравнений с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными, или равносильными, если они или обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения; число уравнений в эквивалентных системах может быть различным. В процессе отыскания решений систему уравнений можно подвергать только таким пре образованиям, которые переводят ее в эквивалентные системы.
Относительно любой системы линейных алгебраических уравнений можно задать вопросы:
48
•совместна она или нет;
•если совместна, то каково число решений;
•как найти все решения.
Процесс отыскания ответов на первые два вопроса называется ис следованием системы, а процесс отыскания решений — решением системы.
Мы рассмотрим м е т о д Ж о р д а н а — Г а у с с а (метод последова тельного исключения неизвестных) для исследования и решения систем ли нейных алгебраических уравнений, в котором процессы исследования и поис ка решений совпадают.
Составим матрицу A из коэффициентов при неизвестных системы линей ных алгебраических уравнений. Ее принято называть матрицей системы (3.1.1), а матрицу A =(A | b) , получающуюся добавлением к A столбца свобод ных членов системы (3.1.1), называют расширенной матрицей:
a11 |
a12 |
a1n |
a11 |
a12 |
a1n |
|
a |
a |
a |
|
a |
a |
a |
A = 21 |
22 |
2n ; |
A =(A | b) = 21 |
22 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak2 |
|
|
|
ak2 |
akn |
ak1 |
akn |
ak1 |
||||
b1 b2 . bk
Очевидно, левые части уравнений системы (7.2.1) совпадают с элементами матрицы произведения Ax , поэтому систему линейных алгебраических уравнений (3.1.1) можно записать в матричной форме:
Ax =b .
ПРИМЕР 3.1.1. Проверить, является ли вектор
1 y = 202
решением системы линейных уравнений, которая задана расширенной матрицей
2 |
7 |
3 |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
5 |
2 |
2 |
|
4 |
|
(3.1.2) |
(A | b) = |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
4 |
1 |
7 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Подставим координаты вектора y вместо неизвестных в данную систему линейных уравнений:
2 |
1+7 2 |
+3 0 |
+1 (−2) |
=9 ≠ 6, |
|
|
+2 0 |
+2 (−2) |
=9 ≠ 4, |
3 1+5 2 |
||||
|
1+4 2 |
+1 0 |
+7 (−2) |
=1 ≠ 2. |
9 |
||||
Так как вычисленные значения не совпадают с координатами вектора b, то вектор y не является решением данной системы уравнений.
В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и
1.Что такое система линейных уравнений?
2.Что такое матрица системы линейных уравнений?
49