Файл: Algebra.pdf

x = x1a1 +x2a2 + +xnan ,

что и доказывает теорему.

Коэффициенты x1, x2,…, xn разложения вектора x по векторам базиса a1, a2, …, an называются координатами вектора x в данном базисе. В силу един ственности линейного выражения вектора через линейно независимые векторы, как было доказано ранее, координаты вектора в данном базисе определяются однозначно. Координаты вектора, определенные при введении понятия вектора,

— это коэффициенты разложения данного вектора по единичному базису. Пусть дана прямоугольная матрица

Можно доказать, что ранг системы строк

Данный результат позволяет ввести новое понятие: рангом матрицы на зывается максимальное число ее линейно независимых параллельных рядов. Обозначается ранг матрицы A так: rg A. Очевидно, что если A m×n , то rg A -min{m, n}

Под элементарными преобразованиями матрицы будем понимать преоб разования трех типов:

•перемена местами двух каких нибудь строк;

•умножение всех элементов одной из строк матрицы на число, отличное от нуля;

•прибавление ко всем элементам одной из строк матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

Несложно доказать такую теорему.

ТЕОРЕМА 2.2.10. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.

Эта теорема дает способ вычисления ранга матрицы: с помощью элемен тарных преобразований матрицу приводят (с точностью до перестановки столбцов) к виду

41

где звездочками обозначены произвольные числа, при этом ранг исходной матрицы равен рангу преобразованной матрицы, а ранг преобразованной мат рицы, очевидно, равен r.

2.2.1. Найти базис и ранг системы векторов — строк матрицы

из примера 1.3.1.

Решение. Преобразуем матрицу A с помощью элементарных преобразований. Процесс элементарных преобразований иллюстрируется табл. 2.2.1.

Т а б л и ц а 2.2.1

Таким образом, исходная матрица

с помощью элементарных преобразований приведена к виду

42

откуда следует что три строки матрицы A:

представляют собой линейно независимую систему векторов.

Эти три вектора (2.2.5) и образуют базис системы векторов — строк матрицы A. Ранг системы векторов равен числу векторов в базисе этой системы, т. е., в данном случае, трем.

ПРИМЕР 2.2.2. Определить ранг матрицы А из примера 2.2.1.

Решение. Ранг матрицы равен рангу системы векторов — строк этой матрицы, т. е., согласно решению примера 2.2.1, rg A =3 .

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Какие векторы называются линейно зависимыми?

2.Какие векторы называются линейно независимыми?

3.Сформулируйте необходимое и достаточное условие линейной зависи мости векторов линейного пространства.

4.Что такое базис линейного пространства?

5.Что такое размерность линейного пространства?

6.Как связаны между собой размерность линейного пространства и число элементов в базисе этого пространства?

7.Что такое координаты элемента линейного пространства в данном базисе?

8.Может ли базис линейного пространства содержать нулевой элемент этого пространства?

9.Верно ли, что произвольный вектор линейного пространства может быть разложен по базису a1, a2, …, an этого пространства?

10.Являются ли элементы a1, a2, …, an линейно независимыми, если извест но, что некоторый элемент x можно представить в виде двух различных ли нейных комбинаций элементов a1, a2, …, an?

11.Верно ли, что элементы c1a1, c2a2, …, cnan (где c1, c2, …, cn — числа, не рав ные нулю) образуют базис линейного пространства, если известно, что a1, a2, …, an — базис этого пространства?

12.Сколько различных базисов существует в n мерном линейном про странстве?

13.Может ли размерность линейного пространства быть меньше размерно сти его подпространства?

14.Верно ли, что ранг системы векторов — строк матрицы равен рангу сис темы векторов — столбцов этой матрицы?

15.Что такое ранг матрицы?

16.Что такое базисный минор?

17.Как изменяется ранг матрицы при ее элементарных преобразованиях?

18.Чему равен ранг единичной матрицы?

19.Чему равен ранг диагональной матрицы?

20.Чему равен ранг произведения матриц?

43

21.Как связаны rg A и rg AT?

22.Чему равен ранг квадратной невырожденной матрицы?

23.Являются ли столбцы матрицы A m×n линейно зависимыми, если rg A < n?

24.Являются ли столбцы матрицы A m×n линейно зависимыми, если rg A = n?

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1.Даны матрицы A, B, c, d, E. Найдите rg A, rgB, rgc, rgd, rgE , если

2.Найдите rg A, rgB, rgC, rgD , если

§ 2.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Прямая линия с заданным на ней направлением называется осью. Если вы брать на оси некоторую точку O, называемую началом координат, и задать е д и н и ц у и з м е р е н и я (масштаба), то тем самым мы зададим систему координат на прямой.

Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом координат и одина ковой единицей измерения образуют декартову прямоугольную систему коор динат на плоскости. Одна из осей называется осью абсцисс и обозначается Oх1, другая — осью ординат (Ox2), а сама система координат обозначается х1Ox2.

Аналогичным образом можно ввести декартову прямоугольную систему ко ординат и в трехмерном пространстве.

Проекции точки на координатные оси называются координатами этой точ ки. Очевидно, любая точка однозначно задается своими координатами.

С произвольной точкой M однозначным образом связан так называемый ра диус вектор этой точки, т. е. вектор, имеющий те же координаты, что и точка

M. С геометрической точки зрения радиус вектор точки M — это вектор OM , началом которого является начало координат O, а концом — данная точка M.

На рис. 2.3.1 изображена декартова прямоугольная система координат на плоскости. В этой системе координат отмечены точки A(1, 4), B(2, 3), C(–1, 2) и D(–1, –1). С этими точками связаны их радиус векторы a = (1, 4), b = (2, 3), c = (–1, 2) и d = (–1, –1).

44