Файл: Algebra.pdf

тором этапе преобразований на месте матрицы A получится единичная мат рица, и тогда каждый столбец пристроенной матрицы будет представлять решение соответствующей подсистемы уравнений, т. е. на месте приписанной единичной матрицы появится обратная матрица. Схема обращения невырож денной матрицы A кратко может быть записана в виде:

Если же на некотором этапе процесса преобразований вспомогательной матрицы (3.4.4) на месте одной из строк матрицы A появится строка нулей, то это означает необратимость матрицы A.

Вычисление обратной матрицы в Microsoft Excel производится с помощью функции

A−1 = МОБР(матрица A),

где «матрица A» — ссылка на ячейки рабочего листа, содержащие данную матрицу. Данная формула должна быть введена в рабочий лист как ф о р м у л а м а с с и в а Microsoft Excel.

3.4.1. Найти (если это возможно) матрицу, обратную к матрице А из примера 1.3.1.

Решение. Припишем справа к матрице A единичную матрицу, и с помощью эле ментарных преобразований строк приведем матрицу (A | E) к такому виду, чтобы на месте матрицы А оказалась единичная матрица, тогда на месте единичной матрицы будет искомая матрица A−1 . Процесс элементарных преобразований иллюстрирует ся табл. 3.4.1.

В результате элементарных преобразований матрица

63

Таким образом, получена искомая обратная матрица

Сделаем проверку: по определению обратной матрицы должно выполняться ра

верно. Аналогично можно проверить, что AA−1 = E .

Теперь поясним, как получить тот же результат в пакете Microsoft Excel. Введем матрицу A в ячейки A2:C4 рабочего листа Microsoft Excel, как показано на рис. 3.4.1, а.

б) результаты расчета

Рис. 3.4.1. Вычисление обратной матрицы в Microsoft Excel

64

Матрица A имеет две строки и три столбца, значит, матрица A–1 будет иметь три стро ки и два столбца. Отведем под результат ячейки E2:G4 (они как раз занимают три строки и два столбца). В ячейку E2 введем формулу «=МОБР(A2:C3)», причем эту фор мулу необходимо ввести как ф о р м у л у м а с с и в а. Для этого нужно мышью выделить диапазон E2:G4, начиная с ячейки E2, содержащей формулу, затем на жать клавишу <F2>, а затем — комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>.

Результат представлен на рис. 3.4.1, б (в ячейках E2:G4). Замечаем, что результаты руч ных и компьютерных вычислений совпали (с точностью до ошибок округления). Если формулу ввести не как формулу массива, то будет рассчитан только левый верх ний элемент результата — число (–0,11).

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Какая матрица называется обратной к данной квадратной матрице A?

2.Ко всем ли матрицам существуют обратные матрицы?

3.Может ли существовать несколько различных матриц, обратных к дан ной матрице?

4.Чему равен определитель матрицы, обратной к данной матрице A?

5.Всегда ли верно, что (AT)–1 = (A–1)T?

6.Всегда ли верно, что (A–1)–1 = A?

7.Всегда ли верно, что (AB)–1 = B–1A–1?

8.Как найти матрицу, обратную к данной, с помощью метода Жордана — Гаусса?

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1. Найдите матрицу, обратную к матрице

1 0 A = .

1 1

2. Для данных матриц найдите обратные или докажите необратимость

§ 3.5. ПРЯМЫЕ, ПЛОСКОСТИ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

В декартовой прямоугольной системе координат на плоскости о б щ е е

при этом вектор

A n = B

перпендикулярен данной прямой и носит название нормального вектора.

65

Если B ≠0 , то из общего уравнения прямой (3.5.1) c помощью замены

получается у р а в н е н и е п р я м о й с у г л о в ы м к о э ф ф и ц и е н т о м: y =kx +b .

Здесь угловой коэффициент k =tg α равен тангенсу угла наклона прямой с положительным направлением оси абсцисс. Уравнение с угловым коэффици ентом не описывает прямые, параллельные оси ординат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку P(x0 , y0 ) и имеющую угловой коэффициент k , таково:

y −y0 =k(x −x0 )

Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л л и н е й н ы х н е р а в е н с т в определя ется следующими теоремами.

ТЕОРЕМА 3.5.1. Пусть прямая задана общим уравнением Ax1 +Bx2 +C =0 . Если отложить нормальный вектор от любой точки этой прямой, то ко нец отложенного вектора будет находиться в положительной полуплоско сти от данной прямой, т. е. A(x1 + A) +B(x2 +B) +C >0 .

Доказательство. Доказательство очень короткое:

A(x1 + A) +B(x2 +B) +C = Ax1 +Bx2 +C + A2 +B2 =0 + A2 +B2 = A2 +B2 >0 , так как A и B не могут быть равны нулю одновременно.

ТЕОРЕМА 3.5.2. Всякая прямая Ax1 +Bx2 +C =0 разбивает плоскость на две полуплоскости. Для координат всех точек, лежащих в одной полуплоско сти, выполняется неравенство Ax1 +Bx2 +C >0 , для координат всех точек

перпендикулярен данной плоскости и носит название нормального вектора. Плоскость (3.5.2) делит трехмерное пространство на два полупространства,

в одном из которых выполняется неравенство Ax1 +Bx2 +Cx3 +D >0 , а в дру гом — неравенство Ax1 +Bx2 +Cx3 +D <0 .

Система m линейных алгебраических неравенств с n неизвестными мо жет быть записана в виде

66

∑aijxj .bi , i =p +1,p +2,…m,

j=1

Совокупность n чисел α1,α2,…,αn , взятых в определенном порядке, называ ется решением системы неравенств (3.5.3), если при подстановке этих чисел на место соответствующих неизвестных неравенства системы не нарушаются. Решение (α1,α2,…,αn ) системы неравенств называется неотрицательным, если все αj >0 . Определения совместности, несовместности, определенно

сти, неопределенности и эквивалентности систем линейных алгебраиче ских неравенств формулируются точно так же, как и соответствующие опре деления для систем линейных алгебраических уравнений.

Для решения системы линейных алгебраических неравенств вида (3.5.3) эту

Каждому решению (α1,α2,…,αn ,αn+1,αn+2,…,αn+m ) системы линейных урав нений (3.5.4), где последние m компонент αn+1,αn+2,…,αn+m

можно поставить в соответствие вполне определенное решение (α1,α2,…,αn ) системы линейных неравенств (3.5.3), и наоборот. В этом смысле говорят, что система уравнений (3.5.4) заменяет систему неравенств (3.5.3). Исследование и решение системы m линейных неравенств с n неизвестными сводится к ис следованию и решению соответствующей системы m линейных уравнений с (n +m) неизвестными. В частности, вопрос о нахождении неотрицательных решений системы линейных неравенств (3.5.3) сводится к вопросу о нахожде нии .неотрицательных решений системы линейных уравнений (3.5.4).

Решение системы линейных неравенств удобно иллюстрировать гео метрически в случае двух и трех неизвестных. Например, каждое неравенство системы с двумя неизвестными определяет полуплоскость вместе с ограничи вающей прямой, а вся система — общую часть таких полуплоскостей, кото рая, очевидно, будет выпуклым многоугольником, называемым многоугольни ком решений данной системы неравенств. Важнейшее свойство выпуклого многоугольника состоит в том, что он вместе с любыми двумя своими точками содержит весь соединяющий их отрезок. По аналогии, каждое неравенство системы с тремя неизвестными определяет полупространство вместе с гра ничной плоскостью, а множество решений такой системы, в случае ее совме стности, образует выпуклый многогранник.

67