Файл: Algebra.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.09.2024

Просмотров: 185

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
ПРИМЕР

3.5.1. Предприятие производит продукцию двух видов, используя при изготовлении этой продукции ресурсы трех видов. Известна технологиче ская матрица A и вектор запасов ресурсов b:

 

1

3

 

 

 

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

1

1

 

,

b =

50

.

 

 

0

 

 

 

80

 

2

 

 

 

 

Требуется описать множество возможных планов производства.

Решение. План производства — это такой вектор

x1

 

x =

,

x2

 

координаты которого должны быть неотрицательными и удовлетворять условиям

x1

+

3x2

- 90,

 

x1

+

x2

- 50,

(3.5.5)

2x1

 

 

- 80.

 

В левых частях неравенств (3.5.5) стоят полные расходы ресурсов четырех видов на производство x1 единиц продукции первого вида и x2 единиц продукции второго вида, а в правых частях неравенств — запасы ресурсов.

Каждое из линейных неравенств (3.5.5) определяет некоторую полуплоскость. Первому неравенству удовлетворяют точки, лежащие по одну из сторон от прямой

x1 +3x2 =90 . (3.5.6)

Построим эту прямую на рис. 3.5.1. Любая прямая определяется двумя своими

точками. Если x1 =0 , то из уравнения (3.5.6) следует, что x2 =30 .

Если x2 =0 , то

x1 =90 . Таким образом прямая, определяемая уравнением (3.5.6)

проходит через

точки A(0, 30) и E(90, 0). Чтобы понять, какая из двух полуплоскостей удовлетворяет

неравенству x1 +3x2 -90 , достаточно подставить в это неравенство произвольную точку, если она удовлетворяет неравенству, то и все точки по ту же сторону от пря мой также удовлетворяют данному неравенству. Проще всего подставить в неравен ство начало координат O(0, 0): 0 +3 0 <90 , значит, все точки плоскости по ту же сто рону от прямой, что и начало координат, удовлетворяют первому из неравенств сис темы (3.5.5).

Аналогично строятся полуплоскости, соответствующие остальным неравенствам системы (3.5.5) и неравенствам x1 .0, x2 .0 . Пересечение этих полуплоскостей обра зует пятиугольник OABCD, заштрихованный на рис. 3.5.1.

Теперь получим тот же результат другим способом — с помощью замены системы

линейных неравенств (3.5.5) системой линейных алгебраических уравнений

 

x1

+

3x2 + x3

 

 

= 90,

 

x1

+

x2

+ x4

 

= 50,

(3.5.7)

 

1

 

 

+

5

= 80

 

2x

 

 

x

 

и определения неотрицательных решений этой системы с помощью симплексных преобразований. Вычислительный процесс иллюстрируется табл. 3.5.1.

68

 

x2

 

 

III

 

II

 

 

I

A

 

 

B

 

10

C

E x1

 

 

 

 

 

 

O 10

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.5.1. Множество допустимых планов производства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 3.5.1

x1

x2

x3

x4

 

x5

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примечания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

1

0

0

90

 

 

 

 

 

 

h

i

 

 

 

 

 

 

 

 

90

 

 

50

 

 

 

 

 

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

= min

 

 

,

 

 

 

=

 

 

 

 

1

1

0

1

0

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

 

 

 

 

 

 

}

 

 

 

i=1, 2, 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

0

0

0

1

80

 

 

 

 

 

gi2

>0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/3

1

1/3

0

0

30

 

 

 

h

i

 

 

= min

30

 

 

 

 

20

 

 

 

 

80

=

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

,

 

 

2/3

0

–1/3

1

0

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1, 2, 3

gi1

 

 

 

 

 

 

 

1/3

 

2/3

 

 

 

2

2/3

 

2

0

0

0

1

80

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

1/2

–1/2

0

20

 

 

 

 

 

 

 

h

i

 

 

= min

20

 

 

20

=

20

 

 

1

0

–1/2

3/2

0

30

 

min

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1, 2, 3 gi3

 

 

>0

 

 

 

1/2

 

 

1

1

 

 

0

0

1

–3

1

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

1

 

–1/2

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

i

 

 

= min

10

 

 

 

=

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

0

1/2

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

=1, 2, 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

–3

1

20

 

 

 

 

 

 

 

gi4 >0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

1

 

–1/2

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

0

1/2

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

1

0

 

–1/2

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дадим к этой таблице некоторые комментарии. Первая секция табл. 3.5.1 соответ ствует базисному решению

x1

 

 

0

 

x

 

 

0

 

2

 

=

90

 

x

(3.5.8)

3

 

 

 

 

x4

 

 

50

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

80

 

системы линейных алгебраических уравнений (3.5.7). Отбросив вспомогательные не известные x3 , x4 и x5 , получим соответствующее решение

x1

 

 

0

(3.5.9)

 

 

=

 

x2

 

 

0

 

69

системы линейных неравенств (3.5.5), т. е. точку O(0, 0).

 

Вторая секция табл. 3.5.1 соответствует базисному решению

 

x1

 

30

 

x

 

 

0

 

2

 

=

0

 

x

(3.5.10)

3

 

 

 

 

x4

 

 

20

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

80

 

системы линейных алгебраических уравнений (3.5.7). Отбросив вспомогательные не известные x3 , x4 и x5 , получим соответствующее решение

x1

 

 

30

(3.5.11)

 

 

=

 

x2

 

 

0

 

системы линейных неравенств (3.5.5), т. е. точку A(30, 0).

Точно так же третья, четвертая и пятая секции соответствуют вершинам B(30, 20), C(40, 10) и D(40, 0) пятиугольника OABCD.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Что такое линейное неравенство?

2.Что представляет собой с геометрической точки зрения множество ре шений линейного неравенства?

3.Что такое система линейных неравенств?

4.Что такое решение системы линейных неравенств?

5.Как заменить систему линейных неравенств эквивалентной системой линейных уравнений?

6.Как заменить систему линейных уравнений эквивалентной системой линейных неравенств?

7.Как решить систему линейных неравенств?

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1.Изобразите графически множество решений системы линейных неравенств

 

x1

− x2

-1,

 

x1

 

-5,

2x1

+3x2

.12,

x1 .0,

 

x2 .0.

2. Найдите множество решений системы линейных неравенств из предыду щей задачи, преобразовав систему неравенств в систему линейных уравнений и найдя неотрицательные решения этой системы с помощью симплексных преобразований.

70

Глава 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

§ 4.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ

Как Вы помните, натуральные числа ( ) употребляются при счете предме тов. Сумма любых двух натуральных чисел обязательно будет натуральным

числом, а разность — уже не обязательно, например, 5 −2

, 2 −5

. Это

стало причиной

появления целых чисел ( ). Теперь

если

x , y

, то

x + y

, x − y

, xy . Но действие деления уже выводит за границы мно

жества

— частное двух целых чисел не обязательно будет целым числом:

6/3

, 3/6 . Так появились рациональные числа (

). Если x , y

, то

x + y

, x − y

, xy , x/ y . Но есть числа, например, π=3,1415926…,

которые не являются рациональными. Это привело к рассмотрению действи тельных чисел ( ).

При этом на каждом шаге обобщения множество чисел расширялось:

.

Будем двигаться дальше в направлении обобщения понятия числа. Введем такое особое число i, что

i2 = −1

иназовем это число мнимой единицей.

Комплексными числами называются числа вида

z = x +iy ,

где x , y .

Любое действительное число x очевидно, является комплексным: x = x + i 0 .

Множество комплексных чисел обозначается так: .

Величины x и y называют при этом соответственно действительной ча стью комплексного числа z и мнимой частью комплексного числа z. Обозна

чают действительную и мнимую части так: Re z и Im z.

 

 

Два комплексных числа z1 = x1 +iy1

и z2 = x2 +iy2

называются равными, если

равны их действительные и мнимые части.

 

 

 

 

 

 

Сумма и разность комплексных чисел z1 = x1 +iy1

и z2 = x2 +iy2 определя

ются так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1 +z2 =(x1 +x2 ) +i(y1 +y2 ),

 

z1 −z2 =(x1 −x2 ) + i(y1 −y2 ) .

Вычислим произведение комплексных чисел z1 = x1 +iy1

и z2 = x2 +iy2 :

z z =(x + iy )(x + iy ) = x x + iy x + ix y + i2y y .

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

Откуда, учитывая, что i2 = −1, и приводя подобные слагаемые, получаем:

71

Смотрите также файлы