Файл: Algebra.pdf

ТЕОРЕМА 1.3.5. Определители квадратных матриц первого, второго и третьего порядка вычисляются по формулам

Доказательство. Формула (1.3.2) следует из первого правила вычисления опреде лителей.

Если a11 ≠0 , то определитель матрицы второго порядка

=a11 a22 − a21 a12 = a11a22 −a12a21,

a11

= −a21a12 =0a22 −a21a12 = a11a22 −a12a21,

что и доказывает формулу (1.3.3).

Если a11 ≠0 и a11a22 −a12a21 ≠0 , то определитель матрицы третьего порядка

31

= a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 −a13a22a31 −a12a21a33 −a11a23a32,

доказательство же формулы (1.3.4) для случаев a11 =0 или a11a22 −a12a21 =0 опустим, любознательный читатель может его воспроизвести самостоятельно.

Теорему 1.3.5 удобно применять с помощью мнемонических правил вычис ления определителей, схематически представленных на рис. 1.3.1.

Согласно этим правилам, определитель матрицы первого порядка равен единственному элементу этой матрицы (рис. 1.3.1, а), для вычисления опреде лителя матрицы второго порядка нужно из произведения элементов, распо ложенных на так называемой главной диагонали вычесть произведение эле ментов, расположенных на побочной диагонали (рис. 1.3.1, б). Для вычисления определителя матрицы третьего порядка удобно воспользоваться правилом треугольников, которое состоит в том, что вначале вычисляют сумму произ ведений элементов, расположенных на главной диагонали и на концах тре угольников, малые основания которых параллельны главной диагонали, и из полученного вычитают сумму произведений элементов, расположенных на побочной диагонали и на концах треугольников малые основания которых па раллельны побочной диагонали (рис. 1.3.1, в).

Чтобы вычислить определитель матрицы с помощью Microsoft Excel, можно воспользоваться функцией

det | A | = МОПРЕД(матрица A),

где «матрица A» — ссылка на ячейки рабочего листа, содержащие данную матрицу.

ПРИМЕР 1.3.1. Вычислить определитель матрицы

тремя способами: воспользовавшись процедурой вычисления определителя, мнемоническим правилом и пакетом Microsoft Excel.

32

Решение. Вначале поменяем местами первую и вторую строки, определитель при этом изменит знак, далее реализуем процедуру вычисления определителя:

Мнемоническое правило вычисления определителя третьего порядка дает тот же результат:

det | A |=0 0 1+1 1 3 +2 4 (−1) −2 0 3 −1 4 1−0 1 (−1) =0 +3 −8 −0 −4 −0 = −9 .

Теперь поясним, как вычислить данный определитель в пакете Microsoft Excel. Введем матрицу A в ячейки A2:C5 рабочего листа Microsoft Excel, а в ячейку E2 вве дем формулу «=МОПРЕД(A2:C5)», как показано на рис. 1.3.2, а. Результат вычисле ния представлен на рис. 1.3.2, б (в ячейке A5).

det =

а) вычисление определителя матрицы первого порядка

б) вычисление определителя матрицы второго порядка

в) вычисление определителя матрицы третьего порядка

Рис. 1.3.1. Мнемонические правила вычисления определителей квадратных матриц первого, второго и третьего порядков

33

б) результаты расчета

Рис. 1.3.2. Вычисление определителя матрицы в Microsoft Excel

Кроме доказанных теорем 1.3.1—1.3.5, можно доказать справедливость сле дующих с в о й с т в определителя (матрицы A и B здесь предполагаются квадратными):

det | AB |=det | BA |=det | A | det | B |, det | E |=1, det | αA |=αn det | A |, det | AT |=det | A | .

Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется выро жденной.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы (1.3.1) называется ее следом и обозначается

n

tr A =a11 +a22 + +ann = ∑aii .

i=1

ПРИМЕР 1.3.2. Вычислить след матрицы А из примера 1.3.1.

Решение. След матрицы A равен

tr A = a11 +a22 +a33 =0 +0 +1 =1 .

След матрицы обладает такими с в о й с т в а м и:

tr(AB) =tr(BA), tr En =n, tr(αA) =αtr A, tr AT = tr A, tr(A +B) = tr A +tr B . (1.3.5)

(Как и ранее, матрицы A и B здесь предполагаются квадратными): Предлагаем читателю доказать эти свойства самостоятельно.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Как определитель матрицы второго порядка явным образом выражается через элементы этой матрицы?

2.Как определитель матрицы третьего порядка явным образом выражает ся через элементы этой матрицы?

3.Как соотносятся определитель матрицы A и определитель матрицы AT?

4.Чему равен определитель произведения матриц?

34