ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.09.2024
Просмотров: 183
Скачиваний: 0
Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
Итак, мы определили вектор как упорядоченную систему чисел и научи лись складывать векторы и умножать вектор на число. Известно, что анало гичные действия можно выполнять на множестве функций. Для того чтобы с единой точки зрения изучать различные множества объектов, на которых оп ределены операции сложения и умножения на число, вводят понятие линей ного пространства. Элементы множества, образующего линейное пространст во, условимся называть векторами и обозначать так же, независимо от их конкретной природы.
Множество L элементов a, b, c,… называется линейным пространством,
если:
1)имеется правило, которое позволяет построить для каждых двух элемен
тов a и b из L третий элемент из L, называемый суммой элементов a и b и обозначаемый a +b ;
2)имеется правило, которое позволяет построить для каждого элемента a из L и любого действительного числа λ элемент a′ из L, называемый произ ведением элемента a на число λ и обозначаемый λa ;
3)существует элемент θL, называемый нулевым, обладающий свойством
(1.1.3), каков бы ни был элемент a ; для каждого элемента a из L существует элемент −a L, называемый противоположным и обладающий свойством (1.1.4);
4)правила образования сумм элементов и произведения элементов на число удовлетворяют условиям (1.1.1), (1.1.2) и (1.1.6)—(1.1.10).
Множество всех n мерных векторов — упорядоченных систем действи тельных чисел — образует линейное пространство в смысле данного опреде ления. Это линейное пространство называется n мерным арифметическим
линейным пространством и обозначается n .
Множество всех матриц одного и того же размера m ×n образует линейное пространство, которое обозначается m×n .
В качестве еще одного примера линейного пространства укажем со вокупность всех многочленов степени, не превышающей данного натурального числа n, с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.
Говорят, что в линейном пространстве L определено скалярное произведе ние, если имеется правило, которое позволяет каждой паре векторов a и b поставить в соответствие некоторое число, обозначаемое a, b , причем это со
ответствие обладает свойствами (1.1.12).
Линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, на зывается евклидовым.
На множестве упорядоченных систем n чисел было определено скалярное произведение по формуле (1.1.11), и мы убедились, что условия (1.1.12) выпол
36
нены. Следовательно, арифметическое n мерное пространство является евк лидовым.
Упомянутые выше линейные пространства матриц и многочленов также можно превратить в евклидовы, если определить подходящим образом ска лярное произведение.
Пусть L — линейное пространство, а S L — некоторое подмножество L. Подмножество S L линейного пространства L называется подпростран
ством этого линейного пространства, если выполняются два условия:
1) для любых двух элементов a, b S сумма этих элементов a +b также принадлежит S ;
2) для любого элемента a S и любого числа λ произведение элемента a на число λ ( λa ) также принадлежит S .
Очевидно, у любого линейного пространства L существуют два подпро странства, называемых тривиальными: это само пространство L и нулевое подпространство {0} , состоящее только из нулевого элемента.
2.1.1. Если S — подпространство некоторого линейного про странства L, то S само является линейным пространством.
Предлагаем читателю самостоятельно доказать эту теорему.
2.1.2. Если S1, S2 — два подпространства некоторого линейного пространства L, то S1 ∩S2 также является подпространством L.
Доказательство. Если a S1 ∩S2 и b S1 ∩S2 , то это означает, что a S1, a S2 , b S1, b S2 , поэтому a +b S1, a +b S2 и λa S1, λa S2 для любого числа λ , а значит, a +b S1 ∩S2 и λa S1 ∩S2 , откуда и следует, что S1 ∩S2 является подпро странством L.
Заметим, что объединение двух подпространств в общем случае уже не бу дет подпространством!
В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и
1.Является ли множество всех действительных чисел с операциями сло жения и умножения элементов на действительные числа линейным простран ством?
2.Является ли множество всех действительных чисел с операциями сло жения и умножения элементов на рациональные числа линейным пространст вом?
3. Что такое арифметическое пространство n ?
4.Верно ли, что 0 = −0?
5.Могут ли в линейном пространстве существовать два нулевых элемента?
6.Всегда ли верно, что для любого вектора x линейного пространства
–x = (–1)x?
7.Что такое линейное подпространство?
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
1. Проверьте, является ли множество рациональных чисел линейным под пространством линейного пространства действительных чисел с операциями сложения и умножения элементов на действительные числа?
37
2.Проверьте, является ли множество рациональных чисел линейным под пространством линейного пространства действительных чисел с операциями сложения и умножения элементов на рациональные числа?
3.Проверьте, является ли линейным подпространством линейного про странства L само L?
4.Верно ли, что множество, содержащее только нулевой элемент θ, явля ется линейным подпространством произвольного линейного пространства L,
причем наименьшим подпространством (т. е. подпространством, содержащим ся в любом другом линейном подпространстве линейного пространства L)?
§ 2.2. БАЗИС И РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ
Говорят, что n мерный вектор b является линейной комбинацией n мерных векторов a1, a2,…, ak , если его можно представить как сумму произве дений данных векторов на какие нибудь числа t1, t2,…, tk :
b =t1a1 +t2a2 + +tkak ,
при этом числа t1, t2,…, tk называются коэффициентами линейной комбина ции.
Система n мерных векторов
a1, a2,…, ak |
(2.2.1) |
называется линейно зависимой, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов системы, и линейно независимой в противном случае.
ТЕОРЕМА 2.2.1. Система векторов (2.2.1) является линейно зависимой тогда и только тогда, когда существуют такие числа λ1, λ2,…, λk , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что имеет место равенство
λ1a1 +λ2a2 + +λkak =0. |
(2.2.2) |
Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов (2.2.1) линейно зависима, и например, вектор ai является линейной комбинацией остальных векторов:
ai = t1a1 +t2a2 + +ti−1ai−1 +ti+iai+1 + +tkak .
Пусть λ1 = t1, λ2 = t2,…, λi−1 = ti−1, λi = −1, λi+1 = ti+1 …, λk = tk , тогда λi ≠ 0 , при этом
λ1a1 +λ2a2 + +λi−1ai−1 +λiai +λi+iai+1 + +λkak =
=t1a1 +t2a2 + +ti−1ai−1 −ai +ti+i ai+1 + +tkak = ai −ai = 0,
что доказывает необходимость выполнения условий (2.2.2) для линейной зависи мости векторов.
Достаточность. Пусть выполняются условия (2.2.2), причем хотя бы одно из чисел λ1, λ2,…, λk не равно нулю. Пусть это будет λj ≠0 . Тогда
a |
|
= − |
λ |
1 |
a − |
λ |
2 |
a |
|
− − |
λj−1 |
a |
|
− |
λj+1 |
a |
|
− − |
λ |
k a |
|
|||
|
λ |
|
λ |
|
|
λ |
|
j−1 |
λ |
|
j+1 |
|
|
|||||||||||
|
j |
|
j |
1 |
j |
|
2 |
|
j |
|
|
j |
|
|
λ |
j |
k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
38
или
ai = t1a1 +t2a2 + +ti−1ai−1 +ti+iai+1 + +tkak ,
где
t1 = −λ1 /λj , t2 = −λ2 /λj ,…, tj−1 = −λj−1 /λj , tj+1 = −λj+1 /λj ,…, tk = −λk /λj ,
что и доказывает достаточность условий (2.2.2) для линейной зависимости векторов.
Теорему 2.2.1 можно переформулировать так: система векторов (2.2.1) яв ляется линейно независимой тогда и только тогда, когда равенство (2.2.2) возможно только в случае, если λ1 =λ2 = =λk =0 . Предлагаем читателю убе диться что обе формулировки этой теоремы эквивалентны.
ТЕОРЕМА 2.2.2. Если среди векторов некоторой системы имеется нуль вектор, то такая система векторов линейно зависима.
Доказательство. Если среди векторов a1, a2,…, ak имеется нуль вектор, например, ai = θ, то можно положить λi =1, λ1 = λ2 = = λi−1 = λi+1 = = λk =0 , и тогда
λ1a1 +λ2a2 + +λi−1ai−1 +λi ai +λi+iai+1 + +λkak = =0a1 +0a2 + +0ai−1 +1θ+0ai+1 + +0ak = 0,
значит, система векторов a1, a2, …, ak является линейно зависимой (по теореме 2.2.1).
ТЕОРЕМА 2.2.3. Если некоторая подсистема a1, a2,…, al системы векторов линейно зависима, то и вся система a1, a2,…, al , al+1,…, ak линейно зависима.
Доказательство. Если подсистема a1, a2, …, al является линейно зависимой, то
λ1a1 +λ2a2 + +λlal = 0, где хотя бы одно из чисел λ1, λ2,…, λl отлично от нуля, то
λ1a1 +λ2a2 + +λlal +0al+1 +0al+2 + +0ak = 0,
значит, система векторов a1, a2, …, al , al+1, …, ak является линейно зависимой (по тео реме 2.2.1).
Принято называть n мерные векторы
e1 =(1, 0, 0,…, 0), e2 =(0,1, 0,…, 0), e3 =(0, 0,1,…, 0),…, en =(0, 0, 0,…,1) (2.2.3)
единичными векторами n мерного линейного пространства. Нетрудно видеть, что система единичных векторов n мерного линейного пространства линейно независима.
ТЕОРЕМА 2.2.4. Любой вектор a =(a1, a2,…, an ) может быть представлен в виде линейной комбинации векторов e1, e2,…, en :
a =a1e1 +a2e2 + +anen .
Доказательство. Действительно,
a =(a1, a2,…, an ) =(a1, 0, 0,…, 0) +(0, a2, 0,…, 0) + +(0, 0, 0,…, an ) =
= a1(1, 0, 0,…, 0) +a2 (0, 1, 0,…, 0) + +an (0, 0, 0,…, 1) = a1e1 +a2e2 + +anen , что и доказывает теорему.
39
Приведем без доказательства еще три теоремы о линейной зависимости векторов.
2.2.5. Пусть n мерные векторы b1, b2,…, bm линейно выражаются через векторы a1, a2,…, ak . Если m > k, т. е. число линейных комбинаций больше числа данных векторов, то векторы b1, b2,…, bm линейно зависимы.
2.2.6. Если векторы двух конечных систем линейно независимых векторов линейно выражаются друг через друга, то эти системы имеют одинаковое число векторов.
2.2.7. Если в системе n мерных векторов число векторов m больше размерности векторов, т. е. m >n , то такая система векторов линейно за висима.
Пусть дана система n мерных векторов a1, a2,…, am и из нее выделена неко торая подсистема векторов ai1 , ai2 ,…, air . Условимся называть эту подсистему
базисом данной системы векторов, если векторы подсистемы линейно незави симы, а любой вектор исходной системы является линейной комбинацией век торов подсистемы.
Очевидно, что если добавить к базису ai1 , ai2 ,…, air системы |
векторов |
a1, a2,…, am произвольный вектор aj этой системы, то система ai1 , ai2 |
,…, air , aj |
будет линейно зависима. |
|
ТЕОРЕМА 2.2.8. Любые два базиса одной и той же системы содержат одина ковое число векторов.
Эта теорема непосредственно следует из теоремы 2.2.6 и позволяет ввести новое понятие. Число векторов в произвольном базисе системы векторов на зывается рангом системы векторов.
До сих пор мы применяли понятия базиса и ранга к системе, состоящей из конечного числа векторов. Но теорема 2.2.7 позволяет распространить их на системы с бесконечным числом векторов, так как согласно этой теореме базис любой такой системы состоит из конечного числа векторов, не превосходящего их размерности.
В частности, можно говорить о базисе и ранге всех n мерных векторов, т. е. n мерного линейного пространства. Одним из базисов этого линейного пространст ва является единичный базис — система единичных векторов e1, e2,…, en . Так как число векторов в этой системе равно n, то любой базис n мерного линейного пространства должен содержать ровно n векторов. Поэтому часто говорят: набор любых n линейно независимых векторов n мерного линейного пространства называется базисом этого линейного пространства.
ТЕОРЕМА 2.2.9. Всякий вектор n мерного линейного пространства можно, и притом единственным образом, разложить по векторам базиса этого ли нейного пространства.
Доказательство. Пусть a1, a2, …, an — какой нибудь базис, а x — произвольный вектор n мерного линейного пространства. Система (n + 1) векторов a1, a2, …, an , x линейно зависима, т. е. λ1a1 +λ2a2 + +λnan +λn+1x = 0 , где λn+1 ≠ 0 (в противном случае векторы a1, a2, …, an были бы линейно зависимы). Если положить xi = −λi /λn+1 , то мож но выразить x через a1, a2, …, an следующим образом:
40