Файл: TVMS-3.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.09.2024

Просмотров: 171

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

п. н.

P

(4.2.5)

если Xn →X , то Xn

→X ,

н о н е н а о б о р о т!;

 

 

если Xn P→X , то Xn X ;

(4.2.6)

если Xn x =const , то Xn P→x ;

(4.2.7)

Доказать свойства (4.2.1)—(4.2.7) мы предлагаем читателю самостоятель

но в задаче 395.

 

 

Отметим также, что из сходимости по вероятности н е

с л е д у е т схо

димость математических ожиданий, дисперсий и других характеристик.

При доказательстве центральной предельной теоремы в п. 4.4.1 нам пона добится следующий важный факт, который мы примем без доказательства.

ТЕОРЕМА НЕПРЕРЫВНОСТИ. Следующие три утверждения эквивалентны:

•последовательность случайных величин X1, X2,…, Xn ,… сходится по

распределению к случайной величине X: lim FX (x) =FX (x) равномерно по x;

n→∞ n

• последовательность производящих функций случайных величин X1, X2,…, Xn ,… сходится к производящей функции случайной величины X :

lim ϕX (z) =ϕX (z) равномерно по z;

n→∞ n

• последовательность характеристических функций случайных величин X1, X2,…, Xn ,… сходится к характеристической функции случайной вели

чины X : lim gX (t) =gX (t) равномерно по t.

n→∞ n

Доказательство теоремы непрерывности можно найти, например, в книгах [16, 49].

Задачи

395.Доказать свойства (4.2.1)—(4.2.7).

396.Привести пример такой последовательности случайных величин Xn (n =1, 2,…) , чтобы она сходилась по вероятности к некоторой случайной ве

личине X, но при этом lim MXn ≠MX .

n→∞

397. Доказать, что из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности, а обратное утверждение неверно.

10

11

§ 4.3. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Под з а к о н а м и б о л ь ш и х ч и с е л понимается обобщенное назва ние группы теорем, утверждающих, что при неограниченном увеличении чис ла испытаний средние величины сходятся (в каком то из смыслов, рассмот ренных в предыдущем параграфе) к некоторым постоянным. Наиболее общей из этих теорем является теорема Чебышёва, также называемая просто зако ном больших чисел.

 

 

 

 

 

 

ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЁВА. Если дисперсии некоррелированных случайных вели

чин X1, X2,…, Xn

ограничены сверху числом B , то для произвольного сколь

угодно малого ε>0 справедливо неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑

Xi

 

∑

MXi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

i=1

 

 

 

 

 

−

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<ε

 

1−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.3.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и предельное равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑

Xi

 

 

∑

MXi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim P

 

 

i=1

 

 

 

−

i=1

 

 

 

 

 

 

 

<ε =1,

 

 

 

 

(4.3.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑Xi

 

 

 

 

∑MXi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

P→

 

i=1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Очевидно, если

X1, X2 ,…, Xn — случайные величины, то величина

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

∑Xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

i=1

 

 

 

также является случайной,

причем по свойствам математического ожидания и

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑MXi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дисперсии M

X

=

i=1

 

, и поскольку случайные величины X1, X2 ,…, Xn

некоррелированы,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

∑DXi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

D

X

 

i=1

.

 

 

Применим

к

 

 

 

 

случайной

 

 

 

 

 

величине

 

X неравенство

Чебышёва:

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑Xi

 

 

 

∑MXi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑DXi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DX

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

−

 

 

 

<ε =P{| X −MX |<ε}

 

 

1−

 

 

 

 

=1−

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что 1−

∑DXi

1−

∑B

=1−

nB

 

=1−

B

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая,

что все DXi

B , получим,

i=1

 

 

 

 

 

i=1

 

, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2ε2

n2ε2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2ε2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nε2

доказана справедливость неравенства (4.3.1). Переходя в этом неравенстве к пределу при n →∞, получаем равенство (4.3.2).

Закон больших чисел утверждает, что среднее арифметическое случай ных величин при возрастании их числа обладает свойством статистической устойчивости, т. е. сходится по вероятности к н е с л у ч а й н о й величине

12

— среднему арифметическому математических ожиданий этих случайных величин. Практическое применение закона больших чисел состоит в том, что среднее арифметическое, вычисленное по достаточно большому числу ре зультатов измерений какой либо величины, будет сколь угодно близко к из меряемой величине.

Статистическая устойчивость относительной частоты появления успеха в серии независимых испытаний доказывается в следующей теореме.

ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ. Если вероятность успеха в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p , то для произвольного сколь угодно малого ε>0 справедливо предельное равенство

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim P

 

 

 

−p

 

<ε

=1 ,

(4.3.3)

n

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где m — число успехов в серии из n испытаний.

Доказательство. Рассмотрим случайные величины X1, X2 , …, Xn , определяемые по сле дующему правилу:

 

 

 

 

1, если произошел успех в i м испытании [с вероятностью p],

Xi

=

 

 

0, если не произошел успех в i м испытании [с вероятностью (1−p)].

 

n

 

Тогда MXi =p, DXi =p(1−p), m = ∑Xi . Поскольку 0 p

1 , дисперсии случайных ве

 

i=1

 

личин Xi ограничены сверху единицей (так как DXi =p(1−p)

1 ), и можно воспользоваться

теоремой Чебышёва (4.3.2), согласно которой

 

 

 

m

 

 

 

 

 

m

 

np

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim P

 

 

−p

 

<ε

= lim P

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

n

 

 

 

n→∞

 

n n

 

 

 

что и требовалось доказать.

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑Xi

 

∑MXi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

=1,

<ε = lim P

 

 

n

n

 

 

<ε

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорему Бернулли, очевидно, можно записать и в форме, аналогичной (4.3.1):

 

 

 

m

 

 

 

p(1−p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

−p

 

<ε 1−

 

.

(4.3.4)

 

 

n

 

nε2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если для некоторой последовательности случайных величин вместо схо димости по вероятности имеет место сходимость почти наверное:

n

 

n

 

∑Xi

п. н.

∑MXi

 

i=1

i=1

 

 

→

 

,

n

n

 

 

то говорят, что такая последовательность удовлетворяет усиленному закону больших чисел.

Задачи

398. Последовательность некоррелированных случайных величин X1, X2, X3,… определяется по следующему правилу: случайная величина Xi

принимает значения − n, 0, n с вероятностями 1/n, 1 – 2/n, 1/n соответст

13

венно. Доказать, что для этой последовательности выполняются условия теоре мы Чебышёва.

Доказательство. Условия теоремы Чебышёва выполнены, поскольку MXi =0, DXi =2 .

399. Для определения среднего дохода налогоплательщиков города нало говой инспекцией была проведена проверка 250 жителей этого города, отобран ных случайным образом. Оценить вероятность того, что средний годовой доход

250

жителей города отклонится от среднего арифметического X =∑Xi /250 годо

i=1

вых доходов выбранных 250 жителей не более, чем на 1000 руб., если известно, что среднее квадратичное отклонение годового дохода не превышает 2500 руб.

Решение. Согласно неравенству (4.3.1), которым можно пользоваться, поскольку все

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑Xi

 

∑MXi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2500 2500

 

25

 

 

2

 

 

i=1

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

>1−

 

 

 

 

 

=1−

 

=0,975 .

DXi (2500) , P

 

 

 

 

 

 

 

1000

 

 

 

 

 

 

n

n

250 1000 1000

1000

400.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказать,

что для последовательности некоррелированных случай

ных величин X1, X2, X3,…, определяемых рядом распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi

 

 

 

−a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

n +1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n +1 2n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выполняется усиленный закон больших чисел.

 

 

 

401.

Доказать,

что для последовательности некоррелированных случай

ных величин X1, X2, X3,…, таких что MXi

=a, DXi b (i = 1, 2, 3, …), выполняется

усиленный закон больших чисел.

14

Смотрите также файлы