Файл: TVMS-3.pdf

§4.4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

4.4.1.Т е о р е м ы Л е в и , Л я п у н о в а и Л и н д е б е р г а

Законы больших чисел устанавливают факт приближения среднего зна чения большого числа случайных величин к некоторым постоянным в виде сходимости последовательностей случайных величин по вероятности и почти наверное. Но этим не ограничиваются закономерности, возникающие в ре зультате суммарного действия случайных величин. Центральная предельная теорема — это общее название группы теорем, утверждающих, что достаточ но большая сумма сравнительно малых случайных величин распределена приближенно по нормальному закону.

Практическое значение центральной предельной теоремы велико — она составляет теоретико вероятностную основу методов м а т е м а т и ч е с к о й с т а т и с т и к и.

ТЕОРЕМА ЛЕВИ. Если независимые случайные величины X1, X2,…, Xn ,… рас пределены по одному и тому же закону с математическим ожиданием a и средним квадратичным отклонением σ, то при n→∞ случайная величина

n

∑(Xi −a)

Zn = i=1 σ

n

сходится по распределению к стандартной нормальной случайной величине N(0;1) :

Zn N(0;1) .

Доказательство. Пусть gY(t) = MetY — характеристическая функция случайных величин Yi = Xi – a (так как законы распределения этих случайных величин одинаковы, то и характе ристическая функция у всех них одна и та же). Напишем разложение этой функции в р я д М а к л о р е н а:

где θ (0;1) .

16

и поскольку математическое ожидание произведения независимых случайных величин рав но произведению их математических ожиданий,

Примем дополнительное н е о б я з а т е л ь н о е п р е д п о л о ж е н и е, упрощаю щее доказательство. Будем считать, что случайные величины Yi ограничены в совокупности:

т. е. последовательность характеристических функций случайных величин Zn сходится рав номерно по t к характеристической функции случайной величины N(0; 1) , значит, по теоре ме непрерывности (см. § 4.2) Zn N(0;1) , что и требовалось доказать.

Приведем строгую формулировку двух более общих теорем (без доказа тельства).

Рассмотрим последовательность произвольных независимых случайных величин X1, X2,…, Xn ,…, и пусть

MXi =ai , DXi =σ2i .

17

Говорят, что для этой последовательности случайных величин выполня ется у с л о в и е Л я п у н о в а, если

удовлетворяют условию Ляпунова (4.4.1), то случайная величина

n

∑(Xi −MXi )

Zn = i=1 n

∑σ2i

i=1

сходится по распределению к стандартной нормальной случайной величине N(0;1) :

Zn N(0;1) .

С м ы с л у с л о в и я Л я п у н о в а состоит в том, что при его выполне нии дисперсия каждой случайной величины Xi составляет лишь м а л у ю ч а с т ь в общей дисперсии суммы X1 + X2 + ·· · + Xn. Если бы это было не так, а, например, величина X1 имела бы существенно больший разброс, чем остальные величины X2, X3, …, Xn, то закон распределения суммы X1 + X2 + ·· · + Xn опреде лялся бы в основном величиной X1, и тогда ожидать нормального распределе ния суммы X1 + X2 + ·· · + Xn не было бы оснований. Если же все случайные вели чины X1, X2, …, Xn вносят в дисперсию суммы X1 + X2 + ·· · + Xn приблизительно равноправный вклад, то сумма будет распределена по нормальному закону.

Говорят, что для этой последовательности случайных величин выполня ется у с л о в и е Л и н д е б е р г а, если для любого τ > 0

удовлетворяют условию Линдеберга (4.4.2), то случайная величина

n

∑(Xi −MXi )

Zn = i=1 n

∑σ2i

i=1

18

сходится по распределению к стандартной нормальной случайной величине N(0;1) :

Zn N(0;1) .

С м ы с л у с л о в и я Л и н д е б е р г а таков. В знаменателе дроби стоит сумма дисперсий случайных величин X2, X3, …, Xn, а в числителе — сумма «хвостов» этих дисперсий. Когда условие Линдеберга выполняется, говорят, что «хвосты» дисперсий «легкие».

Теорема Линдеберга является наиболее общей из приведенных форму лировок центральной предельной теоремы: и из условий теоремы Леви, и из условия Ляпунова следует условие Линдеберга.

Таким образом, в условиях центральной предельной теоремы

В ряде задач приходится сталкиваться с ситуацией, когда исследуемая случайная величина является суммой большого числа независимых слагае мых, влияние каждого из которых на сумму очень мало. Такими случайными величинами являются, например, капиталы банков и страховых компаний (доля каждого отдельно взятого вкладчика не зависит от доли других вклад чиков и относительно мала, но в сумме все эти доли весьма весомы), выручка торговых предприятий (покупатели действуют независимо друг от друга и по купают товары на относительно небольшие суммы) и др. — мы уже говорили об этом в п. 2.5.3.

На основании центральной предельной теоремы часто можно до наблю дения того или иного явления сказать, что соответствующая случайная вели чина должна иметь нормальное распределение или близкое к нему.

Пусть

19

Задачи

402. Суточная выручка в универсаме равна в среднем 100 000 руб. и в 90% случаев отличается от 100 000 руб. не более, чем на 10 000 руб. Найти вероят ность того, что очередная суточная выручка окажется в пределах от 80 000 до 120 000 руб.

Решение. Пусть X — суточная выручка. Как было отмечено выше, покупатели действуют независимо друг от друга и покупают товары на относительно небольшие суммы Xi X , но

покупателей в районе достаточно много, так что можно считать, что их количество n →∞. По этому суммарная выручка будет иметь нормальное распределение с некоторыми параметра

ми a и σ. Поскольку для нормального распределения a = MX, то по условию a = MX = 100 000.