Файл: Савицкая - Лекции по микроэкономике - Глава 02.pdf

любом монотонном преобразовании функции полезности сохраняется решение задачи потребительского выбора.

Функция некомпенсированного спроса потребителя. При построении модели оптимального выбора мы предполагаем, что цены благ и доход потребителя являются постоянными величинами. И это действительно так на каком-либо временном интервале. Однако с течением времени как цены, так и доход изменяются. В зависимости от этого будет изменяться и величина спроса, предъявляемого потребителем, на то или иное благо. Последнее очевидно даже на уровне здравого смысла: с увеличением нашего дохода и уменьшением цен мы покупаем бóльшее количество товаров и услуг, со снижением дохода и повышением цен – меньшее.

Поэтому, в общем случае, индивидуальный спрос представляет собой

функциональную зависимость количества блага, покупаемого потребителем за данный период времени, от цен этого блага, дохода потребителя и цен других благ из товарного набора. Если вы решите систему уравнений (2.5) в общем виде (не приписывая ценам и доходу конкретные числовые значения), то оптимальные количества каждого блага предстанут именно как функции от цен и дохода:

x1* = d1 ( p1, p2 ,..., pn , I )

x2* = d2 ( p1, p2 ,..., pn , I )

(2.8) #

xn* = dn ( p1, p2 ,..., pn , I )

Немного позже, вы узнаете, почему эти функции называются функциями некомпенсированного спроса потребителя. Их также называют функциями маршаллианского спроса в честь великого английского экономиста Альфреда Маршалла.

Важным свойством функций некомпенсированного спроса является их однородность нулевой степени относительно цен и дохода:

29

) d2 (α p1,...,α pn ,α I ) =α0 d2 ( p1,..., pn , I ) = d2 ( p1,..., pn ,

#

dn (α p1,...,α pn ,α I ) =α0 dn ( p1,..., pn , I ) = dn ( p1,..., pn ,

p1,..., pn , I > 0 и числа α > 0.

Однородность нулевой степени данных функций означает, что если все цены и доход потребителя изменятся в одно и то же число раз, то количество каждого из благ, покупаемых потребителем на рынке, останется неизменным. Покажем это для случая двух благ, используя графическое решение задачи потребительского выбора.

Рассмотрим рис. 2.1. Пусть доход потребителя и цены обоих благ увеличились в

αраз: α I,α p1,α p2 . В этом случае наклон бюджетной линии (БО) не

Следовательно, не изменится и бюджетное множество, то есть множество доступных для потребителя товарных наборов. Если же неизменным остаётся бюджетное множество, то и оптимальный набор потребителя останется тем же самым.

Пример. Рассмотрим функцию полезности Кобба-Дугласа:

Задача потребительского выбора для этой функции будет выглядеть следующим образом:

max (k x1a x2b ) при условии, что

x1 , x2

p1 x1 + p2 x2 = I

Поскольку в данной задаче только две переменные, то нет смысла решать её методом множителей Лагранжа. Воспользуемся сразу условием оптимума:

30

MRS = ∂U ∂x1 = p1 ∂U ∂x2 p2

p1 x1 + p2 x2 = I

Продифференцировав функцию полезности по x1 и x2, имеем:

p1 x1 + p2 x2 = I

Решив эту систему уравнений относительно x1 и x2, получаем функции некомпенсированного спроса потребителя на первое и второе блага:

Обратите внимание, что в случае функции полезности Кобба-Дугласа денежные расходы на покупку каждого из благ, входящих в товарный набор, составляют постоянную долю от дохода, которая определяется предпочтениями потребителя в отношении этих благ. Так, на покупку первого блага потребитель всегда будет

своего дохода, независимо от цен этих благ. Если a > b, то это означает, что потребитель первый товар предпочитает второму. В этом состоит экономический смысл степенных коэффициентов в функции Кобба-Дугласа. Понятно также, что в данном случае спрос потребителя на одно из благ не будет зависеть от цены другого блага.

Косвенная функция полезности. Решая задачу потребительского выбора, мы нашли оптимальные количества благ в товарном наборе, максимизирующие полезность потребителя. Теперь эти значения мы можем подставить в первоначальную функцию полезности:

Поскольку потребитель желает максимизировать полезность при заданном бюджетном ограничении, то получаемый оптимальный уровень полезности будет косвенно (не

31

прямо) зависеть от цен, по которым товары покупаются на рынке и от дохода потребителя. Эта зависимость и представлена в косвенной функции полезности:

V ( p1 ,..., pn , I ) .

Если либо цены, либо доход изменятся, то уровень полезности, который может быть достигнут, окажется под воздействием этих изменений. Иногда как в теории потребительского выбора, так и во многих других контекстах, полезно использовать этот косвенный подход, чтобы исследовать, как изменения в экономической ситуации приводят к различным результатам.

§2. Минимизация расходов потребителя при заданном уровне полезности.

Любая задача максимизации функции с ограничением связана со своей двойственной проблемой – задачей минимизации функции (ею является ограничение из первой задачи) при заданном ограничении (им становится целевая функция из первоначальной задачи). Так, например, экономисты исходят из того, что индивиды максимизируют свою полезность при заданном бюджетном ограничении. Это и есть первичная проблема потребителя. Двойственной к ней проблемой является минимизация расходов, которые необходимо сделать потребителю для того, чтобы достичь некоторого заданного уровня полезности.

Графический анализ. Рассмотрим, прежде всего, графическое решение данной проблемы для случая двух благ в товарном наборе. Денежные расходы потребителя на покупку этих двух благ, обозначаемые как Е, могут быть представлены следующим образом:

Рыночные цены предполагаются неизменными, следовательно, расходы потребителя будут зависеть от покупаемых количеств первого и второго блага.

32

x2

три возможных уровня расходов потребителя на покупку товаров 1 и 2. Можно сказать, что в этой задаче потребитель «не очень сильно стеснён в денежных средствах». В принципе, он может достичь и более высокого уровня полезности, но не хочет – его интересует вполне определённый уровень полезности - U2 . Как потребителю достичь уровня U2 с минимальными затратами? Ясно, что уровень расходов E1 слишком мал, чтобы достичь U2 , следовательно, он не может решить двойственную проблему. С расходами, заданными уровнем E3, потребитель легко достигает уровня полезности U2 (либо в точке В, либо в точке С), однако здесь расходы потребителя не являются минимальными. Уровень расходов E2 достаточен для того, чтобы достичь уровня полезности U2 , и при этом он является минимальным, так как линия E2 касается кривой безразличия U2 , а не пересекает её. Фактически

решением двойственной проблемы будет покупка товарного набора соответствует точке касания линии расходов кривой безразличия, соответствующей

требуемому уровню полезности U2 . Как известно из предыдущего параграфа, в этой точке выполняется условие равенства предельной нормы замещения обратному соотношению цен:

33