ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.12.2024
Просмотров: 580
Скачиваний: 2
Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R ≥ 0, что на интервале (-R, R) ряд сходится, а вне отрезка (-R , R) ряд расходится. Число R
называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (-R , R) – интервалом сходимости степенного ряда.
Возможны случаи, когда R = 0, тогда ряд сходится только в точке х = 0, или R = ∞, тогда ряд сходится на всей числовой оси.
На концах интервала сходимости, т.е. при х = R, х = - R ряд может как сходиться, так и расходиться.
Теорема.
Если все коэффициенты степенного ряда (1) с0 с1 х с2 х2 .... сn xn ..., начиная с некоторого номера, отличаются от 0, то радиус сходимости равен
R = lim |
c n |
= |
lim |
1 |
. |
|||||||
c |
c |
|||||||||||
n |
n 1 |
n |
n |
n |
||||||||
Для нахождения области сходимости необходимо:
1)Найти радиус сходимости R и интервал сходимости (-R , R)
2)Исследовать поведение ряда на границах интервала сходимости при х = R
их = -R (по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов и по достаточным признакам сходимости рядов с положительными членами).
Пример.
Найти область сходимости степенных рядов
xn |
3 n 2 |
x n 2 |
||||||||||||
a) |
( 1)n 1 |
; b) |
( 1) n 1 n! x n |
; c) |
; |
|||||||||
(2n)! |
||||||||||||||
n 1 |
n 1 |
n 1 |
||||||||||||
(x 1)n |
||||||||||||||
d) |
( 1)n |
. |
||||||||||||
n 1 |
n2n |
|||||||||||||
27
xn |
|||||
a) |
( 1)n 1 |
||||
(2n)! |
|||||
n 1 |
|||||
Решение:
Найдем радиус сходимости
c |
n |
( 1) n 1 |
1 |
; |
|
( 2 n )! |
|||||
cn 1 ( 1)n 2 (2n1 2)! ;
lim |
c n |
lim |
1 |
1 |
lim |
(2n 2)! |
|||||||||||||
R = |
= |
: |
= |
||||||||||||||||
c |
(2n)! |
(2n |
2)! |
(2n)! |
|||||||||||||||
n |
n 1 |
n |
n |
||||||||||||||||
(2n)! 1 2 3... 2n |
|||||||||||||||||||
(2n 2)! 1 |
2 3... 2n (2n 1)(2n 2) |
||||||||||||||||||
(2n 2)! (2n)!(2n 1)(2n 2) |
|||||||||||||||||||
lim |
(2n 1)(2n |
2)(2n)! = |
lim (2n+1)(2n+2) = ∞ |
n |
(2n)! |
n |
|
Следовательно, R= ∞, поэтому ряд сходится на всей числовой прямой.
b) |
( 1) n 1 n! x n |
|
n 1 |
Решение:
Найдем радиус сходимости
cn |
( 1) n 1 n!; |
c n 1 |
( 1) n 2 ( n 1)! |
||||||||||||||||
R = |
lim |
c n |
= |
lim |
(n! :(n+1)!)= lim |
n! |
= |
||||||||||||
c |
(n 1)! |
||||||||||||||||||
n |
n 1 |
n |
n |
||||||||||||||||
n! |
1 |
1 |
|||||||||||||||||
= lim |
lim |
= |
= 0 |
||||||||||||||||
n!(n 1) |
n 1 |
||||||||||||||||||
n |
n |
||||||||||||||||||
28
Т.о. R = 0, при х=0 исходный ряд будет иметь вид 0 + 0 + 0 + 0 +……, откуда следует, что исходный ряд будет сходиться, только в одной точке х=0.
3 n 2 |
x n 2 |
||
c) |
|||
n 1 |
|||
Решение:
К данному ряду нельзя применять формулу для нахождения R, т.к. исходный
ряд не является рядом вида (1) (содержит xn 2 |
, а не xn ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Необходимо применить признак Коши |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
n |
u n |
= lim |
n |
3 |
n 2 |
x |
n 2 |
= |
lim 3 n |
x |
n |
l |
||||||||||||||||||||||
n |
n |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Этот предел будет меньше единицы при тех х, для которых выполняется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенство 3 n |
x |
n 1 , т.е. при |
x |
1 или |
1 |
x |
1 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
3 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
т.е. интервал сходимости |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
n |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
x |
1 |
: |
3 n |
2 |
= |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1= 1 + 1 + 1 +… n 1
Данный ряд расходится по необходимому признаку, т.к.
an |
= lim 1 ≠ 0 |
||||||||||||||
n |
|||||||||||||||
n |
2 |
||||||||||||||
2) |
x |
1 |
: |
3 n |
2 |
1 |
= |
1 n |
2 |
- ряд расходится по |
|||||
3 |
3 |
||||||||||||||
n 1 |
n 1 |
||||||||||||||
необходимому признаку, т. к. предел общего члена не существует (может принимать два значения 1,в зависимости от четности и нечетности n), а для существования предела необходимо, чтобы его значение было единственно.
29
1 |
, |
1 |
|||
т.о. область сходимости имеет вид |
3 |
3 |
. |
||
(x 1)n |
||||
d) |
( 1)n |
|||
n2n |
||||
n 1 |
Решение:
К данному ряду нельзя применить формулу для нахождения радиуса сходимости R, т.к. исходный ряд не является рядом вида (1) (содержит (x 1)n , а
не xn )
Воспользуемся признаком Даламбера
u |
( 1) n |
( x 1) n |
||||
n |
n |
|||||
n 2 |
||||||
u n 1 ( 1) |
n 1 |
( x 1) n 1 |
||||
n 1 |
||||||
( n 1) 2 |
||||||
un 1 |
x 1 |
n 1 |
||||||||
lim |
= lim |
|||||||||
: |
||||||||||
u |
n 1 |
|||||||||
n |
n |
n |
(n 1)2 |
|||||||
x 1n n2n =
lim |
x 1 |
n 1 n 2 n |
lim |
1 |
x 1 |
n |
= |
1 |
x 1 |
lim |
n |
= |
||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
2 |
n 1 |
2 |
n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
x |
1 |
n ( n 1) 2 |
n |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
= |
1 |
x 1 |
lim |
1 |
1 |
x |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
n |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определим, при каких х значение предела будет меньше единицы:
x 1 |
1 |
x 1 |
2 ; |
||||||
2 |
|||||||||
-2 < x+1 < 2 |
-3 < x < 1 - интервал сходимости. |
||||||||
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:
30