ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.12.2024
Просмотров: 575
Скачиваний: 2
а) |
1 |
|
n 1 |
n (n 5) |
Решение:
n (n 5) n2 n ;
1 |
1 |
; |
|||||||
n (n 5) |
n |
||||||||
(1) |
1 |
1 |
(2) |
||||||
n |
n (n 5) |
||||||||
Замечание.
Следует обратить внимание на знак неравенства. Он должен быть ≤ (<), как и в признаке сравнения.
Известно, что ряд (1) 1 - гармонический, расходящийся, поэтому из n 1 n
расходимости ряда (1) следует расходимость исходного ряда (2) по признаку сравнения.
б) |
n 1 |
||||||||||||||||||||||
n 1 |
n 3 |
||||||||||||||||||||||
Решение: |
|||||||||||||||||||||||
n 1 |
> |
n |
= |
n |
1 |
1 |
;(1) |
1 |
< |
n 1 |
(2) |
||||||||||||
n 3 |
n 3 |
n 3 2 |
n |
1 2 |
n |
n |
n 3 |
||||||||||||||||
Ряд (1) |
1 |
- |
обобщенно гармонический с α = |
1 |
< 1 , расходящийся. По |
||||||||||||||||||
n |
2 |
||||||||||||||||||||||
n 1 |
|||||||||||||||||||||||
признаку сравнения из расходимости ряда (1) следует расходимость исходного ряда (2).
в) |
sin n |
|||
n 1 |
n 3 |
|||
8
Решение.
sin |
n |
1 ; |
|||||||
(1) |
sin n |
≤ |
1 |
(2) |
|||||
n 3 |
n3 |
||||||||
Ряд (2) n 1 n13 - обобщенно-гармонический с α =3, сходящийся. По при-
знаку сравнения из сходимости ряда (2) следует сходимость исходного ряда (1)
2.Теорема. Предельный признак сравнения.
Если |
a |
и |
b |
- ряды с положительными членами и существует |
|||
n 1 |
n |
n 1 |
n |
||||
конечный предел |
lim |
an |
= k ≠ 0 , то рассматриваемые ряды одновременно |
||||
b |
|||||||
n |
|||||||
n |
|||||||
сходятся или расходятся.
Замечание.
Данный признак удобно использовать, если |
||||||||
1. |
Общий член содержит тригонометрические функции, логарифмы и т.д. |
|||||||
2. |
Общий член имеет вид a |
= |
Pk |
(n) |
, где Pk |
(n) - многочлен от n степе- |
||
n |
Ql |
(n) |
||||||
ни k, и Ql (n) - многочлен от n степени l; тогда вопрос о сходимости такого ряда
полностью исчерпывается сравнением с рядом 1 , где α = l – k. n 1 n
Пример 2.
Исследовать на сходимость ряды
а) |
2 n 1 |
|
n 2 |
||
n 1 |
; б) |
( n 1) 3 |
; в) sin |
1 . |
||
n 5 3n 2 2 |
|||||
n 1 |
n 1 |
n |
9
а) |
2 n 1 |
|
n 2 |
||
n 1 |
Решение:
Здесь в числителе многочлен степени k =1, степень знаменателя l=2, поэто-
му сравниваем данный ряд с рядом |
1 |
= |
1 - гармоничный, расхо- |
|||||||||||||||
n 1 n 2 1 |
n 1 |
n |
||||||||||||||||
дящийся |
||||||||||||||||||
lim |
an |
= lim |
( |
2n 1 |
: |
1 |
) = |
lim |
2n2 |
n |
||||||||
n |
||||||||||||||||||
bn |
n |
2 |
n |
2 |
||||||||||||||
n |
n |
n |
||||||||||||||||
Разделим числитель и знаменатель на n2 : |
||||||||||||||||||
2 |
1 |
|||||||||||||||||
lim |
n |
= 2 |
= 1 ≠ 0 ≠ ∞. |
|||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||
n |
1 |
|||||||||||||||||
Следовательно, оба ряда расходятся по предельному признаку сходимости.
б) |
( n 1) 3 |
||
n 5 3n 2 2 |
|||
n 1 |
Решение:
В числителе многочлен степени 3, в знаменателе многочлен степени 5, по-
этому сравниваем с рядом |
1 |
= |
1 |
- обобщенногармонический с α |
|||||||||||||||||||||||
n 5 |
n2 |
||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
3 |
n 1 |
|||||||||||||||||||||||||
= 2 > 1, сходящийся. |
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
an |
(n 1) |
3 |
: |
1 |
lim |
n 2 (n 1)3 |
||||||||||||||||||||
= lim |
)= |
= |
|||||||||||||||||||||||||
n |
5 |
3n |
2 |
2 |
n |
2 |
n |
5 |
3n |
2 |
2 |
||||||||||||||||
n bn |
n |
n |
|||||||||||||||||||||||||
Наивысшая степень числителя – 5, наивысшая степень знаменателя – 5, поэтому ответом будет отношение коэффициентов при наивысших степенях числи-
теля и знаменателя, т.е. 11 = 0 ≠ ∞.
Следовательно, оба ряда сходятся по предельному признаку сравнения
10
в) sin |
1 |
|||||||
n 1 |
n |
|||||||
Решениe: |
||||||||
sin |
1 |
|||||||
Как известно, lim |
n |
= 0 |
= 1 ≠ 0 ≠ ∞, но гармонический ряд |
1 |
||||
1 |
n |
|||||||
n |
0 |
n 1 |
||||||
n |
||||||||
расходится. Следовательно, исходный ряд расходится по предельному признаку сравнения.
§ 4.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши
1. Теорема. Признак Коши.
Если для ряда с положительными членами n 1 an существует если
a)l < 1, ряд сходится ;
b)l > 1, ряд расходится ;
c)l = 1, то вопрос о поведении ряда остается открытым.
Замечание.
lim n an = l , то
n
Признак Коши удобно применять, если общий член содержит n- ную степень.
Пример1.
С помощью признака Коши исследовать сходимость рядов
n |
n |
1 |
n |
n 2 |
||||||||||||
a) |
; б) |
; в) sin n |
. |
|||||||||||||
4n 1 |
2 n |
n |
1 |
2 n |
||||||||||||
n 1 |
n 1 |
n 1 |
||||||||||||||
11