ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.12.2024
Просмотров: 578
Скачиваний: 2
1.Знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда, поэтому к нему тоже можно применить признак сходимости знакопеременного ряда.
2.При исследовании знакопеременных рядов возможны три случая:
a)ряд сходится абсолютно (достаточно доказать сходимость ряда из абсолютных величин членов данного ряда);
b)ряд сходится условно (доказать сходимость самого ряда по признаку Лейбница и расходимость ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда);
c)ряд расходится (по необходимому признаку сходимости).
Пример.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды:
sin |
n |
n 1 |
1 |
2n 1 |
n |
|||||||||||||||||||
a) |
n 2 |
; б) |
( 1) |
; в) |
1 n |
|||||||||||||||||||
3n 2 |
||||||||||||||||||||||||
n 1 |
n 1 |
3 |
n |
n 1 |
||||||||||||||||||||
n |
n |
1 |
n |
n |
||||||||||||||||||||
г) |
n |
; д) sin |
n |
; е) |
; ж) |
( 1) |
n |
|||||||||||||||||
( 1) |
( 1) |
. |
||||||||||||||||||||||
5n 2 |
3 |
ln |
n |
n! |
||||||||||||||||||||
n 1 |
n 1 |
n 2 |
n 1 |
|||||||||||||||||||||
Решение: |
||||||||||||||||||||||||
a) |
sin |
n |
- знакопеременный. |
|||||||||||||||||||||
n 1 |
n 2 |
|||||||||||||||||||||||
Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
sin n |
|||
n 1 |
n 2 |
||
Применим признак сравнения: sin n 1 ;
21
(1) |
sin n |
≤ |
1 |
(2). |
||||
n 2 |
n2 |
|||||||
Т.к. ряд (2) |
1 |
- обобщенно-гармонический, α = 2 > 1 - сходится, то по |
|
n 1 n2 |
|||
признаку сравнения из сходимости ряда (2) следует сходимость исходного ряда
(1).
Т.о., ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.
Решение:
(-1) n 1 |
1 |
||||
б) |
- знакочередующийся. |
||||
n 1 |
3 |
n |
|||
1. Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
1 |
||||||
= |
1 |
- обобщенно-гармонический с α = ⅓ < 1, расходится. |
||||
1 |
||||||
n 1 |
3 n |
n 1 n |
3 |
|||
Следовательно, ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходится.
2. Применим к исходному ряду признак Лейбница. Проверим оба условия признака Лейбница.
1) an |
= |
1 |
> an 1 |
= |
1 |
- члены ряда убывают по абсолютной |
||
3 |
n |
3 n 1 |
||||||
величине
2) lim an = |
lim |
1 |
= |
1 |
= 0 |
||
3 |
|||||||
n |
n |
n |
|||||
Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому исходный ряд сходится по признаку Лейбница.
Таким образом, исходный ряд сходится условно.
22
Решение:
2n 1 |
n |
|||||
в) |
1 n |
- знакочередующийся. |
||||
3n 2 |
||||||
n 1 |
||||||
Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
2n 1 |
n |
|||
3n 2 |
||||
n 1 |
Т. к. общий член содержит n-ную степень, то применим признак Коши:
2 n 1 n |
2 n |
||||||||
lim n an |
= lim n |
= lim |
= |
||||||
3 n 2 |
3n 2 |
||||||||
n |
n |
n |
|||||||
В результате деления числителя и знаменателя на n получаем
lim |
2 |
= |
2 |
< 1. |
||
3 |
2 |
3 |
||||
n |
||||||
n |
||||||
Следовательно, ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, сходится по признаку Коши. Т. о., исходный ряд сходится абсолютно.
Решение:
( 1)n |
||||
в) |
n |
- знакочередующийся. |
||
5n 2 |
||||
n 1 |
Данный ряд расходится, т.к. для него не выполняется необходимый признак
сходимости: lim a |
n |
= |
lim ( 1)n |
n |
= |
1 |
(в зависимости от |
||||
5n 2 |
5 |
||||||||||
n |
n |
||||||||||
четности или нечетности n), а для существования предела необходимо, чтобы его значение было единственно.
Решение:
г) sin n - знакопеременный. n 1 3
23
Данный ряд расходится, т.к. для него не выполняется необходимый признак
сходимости: lim an |
= lim sin n3 не существует. |
||||
n |
n |
||||
Решение: |
|||||
д) |
(-1) n |
1 |
- знакочередующийся. |
||
ln n |
|||||
n 2 |
|||||
1.Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
(2) |
1 |
- используем признак сравнения и сравним с гармоническим |
||||||||||
ln |
n |
|||||||||||
n 2 |
||||||||||||
расходящимся рядом (1) |
1 |
: (1) |
1 |
1 |
(2), т. к. функция y=x возрастает |
|||||||
n |
n |
ln n |
||||||||||
n 1 |
||||||||||||
быстрее функции y=ln x, поэтому из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2) по призраку сравнения. Следовательно, ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходится.
2. Применим к исходному ряду признак Лейбница. Проверим оба условия признака Лейбница.
1) an = |
1 |
> an 1 = |
1 |
- члены ряда убывают по абсолютной величине |
||||||||
n |
ln n |
|||||||||||
2) lim |
a |
= lim |
1 |
= |
1 |
= 0 |
||||||
n |
ln |
n |
||||||||||
n |
n |
|||||||||||
Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому исходный ряд сходится по признаку Лейбница.
Таким образом, исходный ряд сходится условно.
Решение:
( 1)n |
n |
|||
е) |
n |
- знакочередующийся. |
||
n! |
||||
n 1 |
24
Данный ряд расходится, т.к. для него не выполняется необходимый признак
сходимости: lim |
a |
n |
= lim ( 1) |
n nn |
= lim ( 1) |
n n |
n n ... n |
- числитель |
|
n! |
1 2 3 ... n |
||||||||
n |
n |
n |
|||||||
больше знаменателя, поэтому ответом будет служить в зависимости от
четности и нечетности n.
25
§ 7. Степенные ряды
Определение.
Ряд u1 (x) u2 (x) ... un (x) ... = n 1 un (x) , членами которого является
функция, называется функциональным.
При одних значениях х ряд может сходиться, а при других расходится. Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке х0 , если при х х0
он обращается в сходящийся числовой ряд; если же при х х0 получается расходящийся числовой ряд, то ряд называется расходящимся в точке х х0 .
Определение.
Совокупность значений х, при которых функциональный ряд сходится,
называется областью сходимости функционального ряда.
Из всех функциональных рядов наиболее распространенными являются степенные ряды вида
с |
0 |
с |
x c |
2 |
x2 |
... c |
n |
xn |
..., |
(1) |
1 |
где числа с0 ,с1 ,c2 ,...cn ,...- коэффициенты степенного ряда.
Cтруктура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.
Теорема Абеля.
1) Если степенной ряд сходится при значении х х0 ≠ 0, то он сходится,
причем абсолютно, при всех х, таких что x х0
2) Если степенной ряд расходится при значениях х х1 , то он расходится
при всех х, таких что x х1
26