ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.12.2024
Просмотров: 579
Скачиваний: 2
1 |
1, |
сходится |
||||
при |
||||||
1, |
расходится |
|||||
n |
||||||
n 1 |
||||||
1 |
||
б) |
n 1 |
|
(n 1)ln2 (n 1) |
||
Решение:
Рассмотрим несобственный интеграл
dx |
= lim |
dx |
||||
2 |
(x 1) |
(x 1) ln |
2 |
(x 1) |
||
1 |
(x 1)ln |
b |
||||
Вычислим отдельно неопределенный интеграл постановкой:
dx |
= |
t |
ln( |
x 1 ) |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x 1)ln2 (x 1) |
dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
dt |
t 2 dt |
1 |
c |
1 |
c ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
t |
ln( x 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
dx |
lim |
1 |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( x 1) ln |
( x |
1) |
ln(x 1) |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
1 |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
= |
0 |
= |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln(b 1) |
ln 2 |
ln( ) |
ln 2 |
ln 2 ln 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, несобственный интеграл сходится, поэтому исходный ряд сходится по интегральному признаку.
в) |
arctg n |
|
n 1 |
1 n2 |
|
Решение:
Рассмотрим несобственный интеграл
arctgxdx |
= lim |
arctgxdx |
||||
1 x |
2 |
1 x |
2 |
|||
1 |
b 1 |
|||||
17
Вычислим неопределенный интеграл отдельно, подстановкой:
∫ |
arctgxdx |
= |
t |
arctgx |
= t dt |
= |
t 2 |
c |
( arctgx |
) |
2 |
c ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x2 |
dt |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arctgxdx |
= lim |
(arctgx)2 |
b |
lim |
( |
(arctg b) 2 |
(arctg 1) 2 |
) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
1 x |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b 1 |
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( arctg |
( |
)) |
2 |
2 |
4 |
4 |
16 |
3 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
32 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Cледовательно, несобственный интеграл сходится, и исходный ряд также сходится по интегральному признаку.
18
§5. Ряды с членами произвольного знака
§5. 1. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
Определение.
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
a1 a2 a3 ... ( 1)n 1 an ..., где an > 0.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости
Теорема. Признак Лейбница.
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине
a1 a2 |
a3 |
... |
an |
... и предел его общего члена равен 0 |
lim an 0 , то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена.
n
Замечание.
Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям основано на замене суммы ряда суммой нескольких первых его членов. Допускаемая при этом погрешность очень просто оценивается для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, - эта погрешность меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд |
( 1) n 1 |
1 |
. Найти с точностью |
|||||||
( 2 n ) 3 |
||||||||||
n 1 |
||||||||||
0,01 сумму этого ряда. |
||||||||||
Решение: |
||||||||||
1 |
1 |
|||||||||
1. an = |
> an 1 |
= |
- члены ряда убывают по абсолютной |
|||||||
( 2 n ) 3 |
(2 n 2) 3 |
|||||||||
величине.
19
2. lim a |
n |
= lim |
1 |
1 |
0 . |
||
( 2 n ) |
3 |
||||||
n |
n |
Так как оба условия признака Лейбница выполнены, то ряд сходится. Для того чтобы найти с точностью 0,01 сумму данного ряда, надо взять столько его членов, чтобы следующий член ряда был по модулю меньше 0,01,
тогда весь остаток ряда, начинающийся с этого члена, будет также меньше 0,01.
a1 |
1 |
1 |
; |
a 2 |
1 |
1 |
; |
a 3 |
1 |
1 |
0.01 |
||||
2 3 |
8 |
4 3 |
64 |
6 3 |
216 |
||||||||||
Для данного ряда модель третьего члена < 0,01, поэтому с точностью 0,01 сумма ряда приближенно равна:
S = 213 413 18 641 647 0,11 0,01 .
§5.2. Aбсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда
Определение.
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеется как положительные, так и отрицательные числа.
Определение.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится
ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда n 1 an .
Определение.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится.
Теорема. Признак сходимости знакопеременных рядов.
Если ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда, сходится, то знакопеременный ряд также сходится, причем абсолютно.
Замечание.
20