ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.12.2024
Просмотров: 574
Скачиваний: 2
Т. Н. Алексеева
Ряды
г. Коломна, 2009 г.
§ 1. Числовые ряды. Основные понятия
Определение.Числовым рядом называется выражение вида
a1 a2 |
a3 |
... an |
... an , |
n 1 |
где a1 ,a2 ,a3 ,...,an - члены ряда; an - общий или n-ый член ряда.
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм
S1 a1;
S2 a1 a2 ;
S3 a1 a2 a3 ;
Sn a1 a2 a3 ... an
при n имеет конечный предел lim |
S n S . Этот предел называется |
n |
|
суммой сходящегося ряда. Если lim Sn |
не существует или бесконечен, то ряд |
n |
|
называется расходящимся. |
Пример 1.
Написать три первых члена ряда, если n-ый член имеет вид
a |
n |
( 1 ) n 1 |
|||||||||||||||||||||
2 n |
1 |
||||||||||||||||||||||
Ответ: |
|||||||||||||||||||||||
n=1: a |
( 1)1 1 |
( 1) 2 |
|||||||||||||||||||||
1 |
1; |
||||||||||||||||||||||
2 1 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||
n=2: a |
( 1) 2 1 |
( 1) 3 |
1 |
||||||||||||||||||||
2 |
; |
||||||||||||||||||||||
2 2 |
1 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||
n=3: a |
3 |
( 1) |
3 1 |
( 1) |
4 |
1 |
; |
||||||||||||||||
2 3 |
1 |
5 |
5 |
||||||||||||||||||||
Пример 2.
2
Написать n-ый член ряда по данным первым его членам:
2 |
3 |
4 |
... |
||||||||
1 2 |
1 2 3 |
1 2 3 4 |
|||||||||
Ответ: |
|||||||||||
a |
n |
( 1) n 1 |
n 1 |
||||||||
( n 1)! |
|||||||||||
Пример 3.
Найти сумму ряда
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||
n 1 |
... |
... |
|||||||||||
n ( n 1 ) |
1 2 |
2 |
3 |
3 4 |
n ( n 1 ) |
||||||||
Решение :
Представим общий член в виде
a |
n |
1 |
1 |
1 |
, |
тогда частичная сумма S |
n |
равна: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n ( n |
1 ) |
n |
n |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
1 |
... |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
3 |
3 |
n 1 |
n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По определению суммы ряда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
lim S |
lim |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
= |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дробь |
1 |
является бесконечно малой функцией при n , поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
1 |
1 S 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4. Найти сумму ряда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
... |
1 |
... |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 n |
2 |
4 |
2 n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение :
3
Ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрес-
сию с первым членом b1 1и знаменателем q 12 :
S |
b1 |
1 |
2 . |
||||||||
1 |
q |
1 |
|||||||||
1 2 |
|||||||||||
§ 2. Свойства сходящихся рядов |
|||||||||||
1. Если ряд a n |
a1 a 2 a3 ... a n |
... сходится и имеет сум- |
|||||||||
n 1 |
|||||||||||
му S,то ряд a1 |
a |
2 |
a3 ... an |
... an |
также сходится и |
||||||
n 1 |
|||||||||||
имеет сумму S . |
|||||||||||
2. Если ряды a n |
a1 a 2 a3 ... a n ... |
и |
|||||||||
n 1 |
|||||||||||
bn b1 b2 |
b3 |
... bn ... |
сходятся и их суммы соответственно рав- |
||||||||
n 1
ны S1 и S2 , то и ряд, представляющий собой сумму данных рядов
(a1 b1) (a2 b2 ) (an bn ) ... (an bn )
n 1
также сходится, и его сумма равна S1 S2 .
Определение. Ряд, полученный из исходного отбрасывания конечного числа первых его членов, называется остатком ряда
an 1 |
an 2 |
... |
an m ... - n-ый остаток ряда, полученный отбра- |
сыванием первых n членов.
3. Теорема. Если ряд сходится, то сходится и любой его остаток и, наоборот, если сходится какой-либо остаток ряда, то и сам ряд сходится.
Таким образом, на сходимость ряда не влияет любое конечное число его первых членов.
4
§ 3. Необходимый признак сходимости рядов
Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена при n равен 0,
т.е.
lim an 0 .
n
Замечание .
1. Обратное утверждение неверно. Если предел общего члена равен 0, то ряд
необязательно сходится. Например, 1 - гармонический ряд, но, несмотря n 1 n
на то, что lim |
a |
n |
= lim |
1 |
=0 , известно, что ряд расходится. |
|
n |
n |
n |
||||
2. Если предел общего члена при n не равен 0, т.е. lim an |
0 , то ряд |
|||||
n |
||||||
расходится. Это достаточный признак расходимости ряда.
Пример. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость рядов
а) |
n |
|||||||||||||||||||||
2 |
; б) n!n . |
|||||||||||||||||||||
n 1 |
n 1 |
2 |
||||||||||||||||||||
4 n 5 |
||||||||||||||||||||||
n |
2 |
|||||||||||||||||||||
а) |
||||||||||||||||||||||
4 n 5 |
||||||||||||||||||||||
n 1 |
||||||||||||||||||||||
Решение: |
||||||||||||||||||||||
lim |
a |
= |
lim |
n2 |
= |
= lim |
1 |
1 |
||||||||||||||
n |
4n 5 |
4 |
5 |
0 |
||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||
n |
n |
n |
||||||||||||||||||||
n 2 |
||||||||||||||||||||||
Т.о., |
lim an 0 , поэтому ряд расходится по необходимому признаку. |
|||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||
б) |
n! |
|||||||||||||||||||||
2n |
||||||||||||||||||||||
n 1 |
||||||||||||||||||||||
5
Решение: |
||||||||||||
lim |
a |
n |
= lim |
n! |
= lim |
1 |
2 |
3 ... |
n |
, т. к. числитель возрас- |
||
2n |
2 |
2 |
2 ... |
2 |
||||||||
n |
n |
n |
||||||||||
тает быстрее знаменателя
Т. о., lim an 0 , поэтому ряд расходится по необходимому признаку.
n
6
§4. Ряды с положительными членами
§4.1. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения
1.Теорема. Признак сравнения.
Если даны два ряда |
a |
(1) и |
b |
(2) с неотрицательными членами, |
||
n 1 |
n |
n 1 |
n |
|||
причем члены первого ряда не превосходят члены второго ряда: 0 an bn , то
1.Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1)
2.Из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2)
Замечание.
Для сравнения часто используются эталонные ряды:
1. n 1 b1 qn 1 , q < 1 – сходится (геометрическая прогрессия)
2. n 1 1n - гармонический, расходится
3. n 1 n1 - обобщенно-гармонический
1 |
сходится |
(будет доказано позже) |
расходится |
||
1 |
Пример 1.
Используя признак сравнения, исследовать на сходимость следующие ряды:
а) |
1 |
; б) |
n 1 |
; в) |
sin n |
. |
|||||||
n 1 |
n (n 5) |
n 1 n 3 |
n 1 |
n 3 |
|||||||||
7