Файл: Лекции (Теория вероятности).pdf

Доказательство. Если случайная величина X принимает всего одно значение C с вероятностью единица, то MC = C ¢ 1 = C; откуда следует утверждение 1.

Доказательство свойств 2 и 4 проведем для непрерывных случайных величин (для дискретных случайных величин предлагаем читателю провести самостоятельно), а свойство 3 докажем для дискретных случайных величин (для непрерывных доказать самостоятельно).

Найдем математическое ожидание случайной величины Y = aX + b (Y = '(x) = ax + b):

и, значит, утверждение 3 доказано.

Наконец, если X1 и X2 независимые случайные величины, то для математического ожидания их произведения Y = X1X2 (воспользовавшись формулой 9.2 и теоремой 8.3) имеем:

Замечание 9.1 Свойство 4 также допускает обобщение на произведение конечного числа независисмых (в совокупности) случайных величин:

M(X1 ¢ X2 :::Xn) = MX1 ¢ MX2 :::MXn:

Пример 9.3 Представим число успехов X в n испытаниях по схеме Бернулли в виде X = X1 + ::: + Xn; где Xi число успехов в i-м испытании. Нетрудно видеть, что MXi = 0 ¢ q + 1 ¢ p = p: Значит, в силу свойства 3 MX = MX1 + ::: + MXn = np; что совпадает с результатами примера 7.1, но получено с минимальными вычислениями. #

Определение 9.2 Вектор m~ = (MX1;:::;MXn) называют вектором математических ожи-

~

даний (средних значений) случайного вектора X.

Свойства дисперсии

Теорема 9.2 Дисперсия удовлетворяет следующим свойствам.

1. Если случайная величина X принимает всего одно значение C с вероятностью единица, то

DC = 0:

2.D(aX + b) = a2DX:

3.DX = MX2 ¡ (MX)2:

4.D(X + Y ) = DX + DY для независимых случайных величин X и Y .

Доказательство. Если случайная величина X с вероятностью единица принимает всего одно значение C, то в силу свойства 1 математического ожидания (MX = C) получаем DX = M(X ¡C)2 = (C ¡ C)2 ¢ 1; откуда вытекает утверждение 1.

Определим дисперсию случайной величины Y = aX + b: Используя свойство 2 математического ожидания, имеем

DY = M(Y ¡ MY )2 = M¡aX + b ¡ M(aX + b)¢2 = M(aX + b ¡ aMX ¡ b)2 = M¡a(X ¡ MX)¢2 =

= M¡a2(X ¡ MX)2¢ = a2M(X ¡ MX)2:

Поэтому справедливо утверждение 2.

43

Далее, согласно свойствам 2 и 3 математического ожидания, получаем

DX = M(X ¡ MX)2 = M¡X2 ¡ 2XMX + (MX)2¢ = MX2 ¡ 2(MX)2 + (MX)2 = MX2 ¡ (MX)2;

т.е. приходим к утверждению 3.

Наконец, пусть X и Y независимые случайные величины. Тогда, используя независимость случайных величин X = X ¡ MX и Y = Y ¡ MY , а также свойства 2–4 математического ожидания, получаем

D(X + Y ) = M¡X + Y ¡ M(X + Y )¢2 = M¡(X ¡ MX) + (Y ¡ MY )¢2 = M(X ¡ MX)2+

¡ ¢ o o

+ 2M (X ¡ MX)(Y ¡ MY ) + M(Y ¡ MY )2 = DX + 2(MX ¢MY ) + DY = DX + DY;

oo

поскольку MX= 0 и MY = 0. Значит, имеет место утверждение 4.

Замечание 9.2 Можно показать, что справедливо и свойство, обратное свойству 1, а следовательно, имеет место утверждение: дисперсия случайной величины X равна нулю тогда и только тогда, когда X с вероятностью 1 принимает всего одно значение.

Замечание 9.3 Очевидно, что свойство 4 справедливо для суммы не только двух, но и любого числа n попарно независимых случайных величин

D(X1 + ::: + Xn) = DX1 + ::: + DXn:

Нетрудно видеть, что дисперсия DX имеет размерность квадрата размерности случайной величины X. Для практических же целей удобно иметь величину, характеризующую разброс значений

случайной величины вокруг ее математического ожидания, размерность которой совпадает с раз- p

мерностью X. В качестве такой величины естественно использовать ¾ = DX, которую называют

средним квадратичным отклонением случайной величины X.

Формула свертки

Важную роль в теории вероятностей и ее применениях играет тот случай, когда X1 и X2 являются

независимыми случайными величинами, т.е. их двумерная плотность распределения

pX1;X2 (x1;x2) = pX1 (x1)pX2 (x2)

(мы ограничиваемся здесь только случаем непрерывных случайных величин), а случайная величина Y является их суммой:

Y = X1 + X2:

Тогда Y = '(X1; X2), где

'(x1;x2) = x1 + x2;

и, согласно формуле (9.1), находим:

ZZ ZZ

FY (y) = pX1;X2 (x1;x2)dx1dx2 = pX1 (x1)pX2 (x2)dx1dx2 =

x1+x2<y x1+x2<y

Дифференцируя последнюю формулу по y под знаком интеграла, получаем (с учетом переобозначения x1 = x) выражение для плотности pY (y) распределения суммы X1 и X2:

В этом случае говорят, что плотность распределения pY (y) случайной величины Y является сверткой (композицией) плотностей распределения pX1 (x) и pX2 (x) слагаемых X1 и X2 или что закон распределения суммы двух независимых случайных величин является сверткой (композицией) законов распределения слагаемых. Соотношение (9.3) условно записывают в виде pY = pX2 ¤ pX1 : Формулу (9.3) называют формулой свертки для плотностей распределения случайных величин X1 и X2.

44

Пример 9.4 Пусть X1 и X2 независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону со средними значениями m1 и m2 и средними квадратичными отклонениями ¾1 и ¾2. Найдем плотность распределения суммы Y = X1 + X2. Воспользовавшись формулой свертки, имеем

Таким образом, случайная величина Y также распределена по нормальному закону с парамет- p

рами m1 + m2 и ¾12 + ¾22, т.е. композиция плотностей нормальных законов распределения является плотностью нормального закона распределения.

45

Лекция 10

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин

Пусть (X1;X2) двумерный случайный вектор.

Определение 10.1 Ковариацией (корреляционным моментом) cov(X1;X2) случайных ве-

o

личин X1 и X2 называют математическое ожидание произведения случайных величин X1=

o

X1 ¡ MX1 и X2= X2 ¡ MX2:

o o ¡ ¢

cov(X1;X2) = M(X1X2) = M (X1 ¡ MX1)(X2 ¡ MX2) :

Запишем формулы, определяющие ковариацию. Для дискретных случайных величин X1 и X2

X

cov(X1;X2) = (xi ¡ MX1)(yj ¡ MX2)pij;

i;j

для непрерывных случайных величин X1 и X2

Z+1Z+1

cov(X1;X2) = (x1 ¡ MX1)(x2 ¡ MX2)pX1;X2 (x1;x2)dx1 dx2:

¡1¡1

Заметим, что введение понятия ковариации позволяет записать выражение для дисперсии суммы случайных величин и к уже имеющимся свойствам дисперсии добавить еще одно:

D(X + Y ) = DX + DY + 2cov(X;Y )

(свойство 5 дисперсии), справедливое для произвольных, а не только независимых случайных величин X и Y . Действительно,

Следующая теорема устанавливает основные свойства ковариации.

Теорема 10.1 Ковариация имеет следующие свойства

1.cov(X;X) = DX:

2.cov(X1;X2) = 0 для независимых случайных величин X1 и X2

3.Если Yi = aiXi + bi, i = 1; 2, то cov(Y1;Y2) = a1a2cov(X1;X2):

4.¡pDX1DX2 6 cov(X1;X2) 6 pDX1DX2; причем

p

jcov(X1;X2)j = DX1DX2 (10.1)

46

тогда и только тогда, когда случайные величины X1 и X2 связаны линейной зависимостью, т.е. существуют такие числа a и b, при которых

Поэтому справедливо утверждение 3.

Рассмотрим дисперсию случайной величины Yx = xX1 ¡X2; где x произвольное число. В силу свойств дисперсии и свойства 3 ковариации

DYx = D(xX1) + 2cov(xX1;¡X2) + D(¡X2) = x2DX1 ¡ 2xcov(X1;X2) + DX2:

Дисперсия DYx, как функции от x, представляет собой квадратный трехчлен. Но дисперсия любой случайной величины не может быть меньше нуля, а это означает, что дискриминант

квадратного трехчлена DYx является неположительным, т.е. jcov(X1;X2)j · pDX1DX2.

Далее, пусть выполнено равенство (10.1). Значит, дискриминант (10.3) равен нулю, и поэтому уравнение DYx = 0 имеет решение, которое обозначим a. Тогда в соответствии с замечанием 9.2 случайная величина Ya = aX1 ¡X2 принимает всего одно значение (допустим, b), и, следовательно, X2 = aX1 ¡ b; т.е. из (10.1) вытекает (10.2).

Наоборот, пусть выполнено (10.2). Тогда Ya = aX1 ¡ X2 = b и в соответствии со свойством 1 дисперсии DYa = 0, а значит, квадратный трехчлен DYx имеет один действительный корень. Т.к. этот же трехчлен неотрицательный, то он имеет действительный корень лишь в случае, когда его дискриминант в (10.3) равен нулю, откуда следует (10.1). Таким образом, из (10.2) вытекает (10.1). Утверждение 4 полностью доказано.

Наконец, раскрывая скобки в формуле, определяющей ковариацию, и используя свойства математического ожидания, получаем утверждение 5, которое часто бывает полезным при численном подсчете ковариации.

Замечание 10.1 Если случайные величины связаны линейной зависимостью X2 = aX1 ¡ b; то в соответствии со свойствами 3 и 1 cov(X1;X2) = acov(X1;X1) = aDX1: Поэтому знак ковариации совпадает со знаком коэффициента a и равенство (10.1) допускает следующее уточнение:

Замечание 10.2 Из свойств дисперсии и ковариации можно получить еще одно полезное при расчетах свойство дисперсии

D(a1X1 + a2X2 + b) = a21DX1 + a22DX2 + 2a1a2cov(X1;X2):

Докажите это свойство самостоятельно.

Замечание 10.3 Как следует из свойства 2, ковариация независимых случайных величин равна нулю. Однако обратное, вообще говоря, неверно. Существуют зависимые и даже функционально зависимые случайные величины, ковариация которых равна нулю, что демонстрирует следующий пример.

47