Файл: Лекции (Теория вероятности).pdf

при известном параметре ¸. Тогда, учитывая, что

F ¡1(y) = ¡¸1 ln(1 ¡ y);

реализацию X можно получить по формуле

X = ¡¸1 ln(1 ¡ Y );

где Y случайное число с равномерным в интервале (0; 1) законом распределения. #

Пример 5.5 Пусть случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение (см. определение нормального распределения на с. 33), т.е.

Найдем распределение случайной величины Y = X2. Воспользуемся формулой (5.8). В данном случае '(x) = x2. Заметим, что функция '(x) = x2 принимает только неотрицательные значения и, следовательно, при y < 0 уравнение '(x) = y не имеет решений. Поэтому случайная величина Y = Y (X) = X2 не может принимать отрицательные значения и, следовательно функция распреде-

чем первое решение принадлежит интервалу (¡1;0) убывания функции '(x) = x , а второе ин-

тервалу (0;+1) возрастания этой функции. Подставляя Ã1(y); Ã2(y) и плотность стандартного нормального распределения в формулу (5.8), получаем

25

Лекция 6

Числовые характеристики случайных величин

Из результатов предыдущих лекций следует, что вероятности любых событий, связанных с каждой случайной величиной (в том числе многомерной), полностью определяются ее законом распределения, причем закон распределения дискретной случайной величины удобно задавать в виде ряда распределения, а непрерывной в виде плотности распределения.

Однако при решении многих задач нет необходимости указывать закон распределения случайной величины, а достаточно характеризовать ее лишь некоторыми (неслучайными) числами. Такие числа (в теории вероятностей их называют числовыми характеристиками случайной величины) будут рассмотрены в настоящей лекции. Отметим, что основную роль на практике играют математическое ожидание, задающее “центральное” значение случайной величины, и дисперсия, характеризующая “разброс” значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Отметим, что эти характеристики, как и все остальные, рассматриваемые в настоящей лекции, по сути дела, являются характеристиками законов распределений случайных величин.

Поэтому в дальнейшем вместо слов “характеристика случайной величины, имеющей некоторое распределение (закон распределения)” будем говорить “характеристика распределения”.

Математическое ожидание случайной величины

Определение 6.1 Математическим ожиданием (средним значением) MX дискретной случайной величины X называют сумму произведений значений xi cлучайной величины и вероятностей pi = PfX = xig, с которыми случайная величина принимает эти значения:

X

MX = xipi:

i

При этом, если множество возможных значений cлучайной величины X счетно, предполагается,

что

X1

jxijpi < +1;

i=1

т. е. ряд, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно; в противном случае говорят, что математическое ожидание случайной величины X не существует.

Математическое ожидание дискретной случайной величины имеет аналог в теоретической механике. Пусть на прямой расположена система материальных точек с массами pi ( Ppi = 1) и пусть

i

xi координата i-й точки. Тогда центр масс системы будет иметь координату

совпадающую с математическим ожиданием MX случайной величины X.

Пример 6.1 Пусть X число выпавших очков при подбрасывании игральной кости. Так как

1

pi = PfX = ig = 6, i = 1;6, то

MX = X6 i16 = 7=2 = 3;5:

i=1

26

Определение 6.2 Математическим ожиданием (средним значением) MX непрерывной случайной величины называют интеграл

Z+1

MX = xp(x)dx:

¡1

При этом предполагается, что

Z+1

jxjp(x)dx < +1;

¡1

т. е. несобственный интеграл, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно.

Так же как и в дискретном случае, математическое ожидание непрерывной случайной величины можно интерпретировать как центр масс стержня, плотность массы которого в точке x равна p(x).

Пример 6.2 Случайная величина X имеет распределение Коши, т. е. распределение с плотно-

¡1

на 1=(¼x) при x ! +1. Поэтому математическое ожидание случайной величины X не существует.

Математическое ожидание функции от случайной величины.

Найдем математическое ожидание функции случайной величины (случайного вектора). Пусть Y = '(X) является функцией от случайной величины X.

Рассмотрим сначала дискретную случайную величину X, принимающую значения x1;:::;xn;::: с вероятностями pn = PfX = xng, n = 1;2;:::. Тогда случайная величина Y = '(X) принимает значения '(xn) с вероятностями pn = PfX = xng, n = 1;2;:::, и ее математическое ожидание определяется формулой

при этом требуется выполнение условия

X1

i=1

Для непрерывной случайной величины X, имеющей плотность распределения p(x), математическое ожидание случайной величины Y = '(X) можно найти, используя аналогичную (6.1) формулу

Дисперсия. Моменты высших порядков

Две случайные величины могут иметь одинаковые средние значения, но их возможные значения будут по-разному рассеиваться вокруг этого среднего. Например, средний балл на экзамене в двух группах равен “4”, но в первой группе почти все студенты получили “4”, а во второй группе “четверочников” нет вообще, но есть как “пятерочники”, так и “троечники”.

Поэтому, наряду со средним значением, хотелось бы иметь и число, характеризующее “разброс” случайной величины относительно своего среднего значения. Такой характеристикой обычно служит дисперсия.

Определение 6.3 Дисперсией DX случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее среднего значения, т. е. DX = M(X ¡ MX)2:

27

Используя формулы (6.1)–(6.3), в которых положено Y (x) = (x ¡ MX)2; легко написать расчетные формулы для дисперсий дискретной и непрерывной случайных величин соответственно:

Пример 6.3 Пусть X число выпавших очков при подбрасывании игральной кости. Так как

MX = 3;5, то

DX = X6 (i ¡ 3;5)2 16 = 3512:

i=1

Замечание 6.1 Из определения непосредственно следует, что дисперсия любой случайной величины является неотрицательным числом.

Дисперсия DX представляет собой второй момент центрированной (имеющей нулевое мате-

o

матическое ожидание) случайной величины X= X ¡ MX: Поэтому иногда дисперсию называют

вторым центральным моментом случайной величины.

Дисперсия имеет аналог в теоретической механике центральный (относительно центра масс) момент инерции массы, распределенной на оси с линейной плотностью p(x).

В некоторых теоретических исследованиях встречаются моменты высших порядков.

Определение 6.4 Моментом k-го порядка mk (k-м моментом) случайной величины X называют математическое ожидание k-й степени случайной величины X:

X

mk = MXk = xki pi;

i

если X дискретная случайная величина, и

если X непрерывная случайная величина.

Иногда k-й момент называют также начальным моментом k-го порядка.

o

Определение 6.5 Центральным моментом k-го порядка mk (k-м центральным моментом) случайной величины X называют математическое ожидание k-й степени случайной величины

o

X= X ¡ MX:

для дискретной и непрерывной случайных величин X соответственно.

Момент первого порядка совпадает с математическим ожиданием, центральный момент первого порядка равен нулю, центральный момент второго порядка является дисперсией.

Квантиль

Определение 6.6 Квантилью уровня ®, или ®-квантилью, (0 < ® < 1) случайной величины X (распределения случайной величины X) называют число Q®, удовлетворяющее неравенствам

PfX < Q®g 6 ® и PfX > Q®g 6 1 ¡ ®:

1=2-квантиль называют также медианой M случайной величины X.

28

Для непрерывной случайной величины X ®-квантиль Q® является решением уравнения

F (Q®) = ®;

где F (x) функция распределения случайной величины X. Таким образом, для непрерывной случайной величины X квантиль Q® это такое число, меньше которого X принимает значение с

вероятностью ®.

Если известна плотность распределения p(x) случайной величины X, то, учитывая связь между функцией распределения и плотностью распределения, уравнение для определения ®-квантили можно записать в виде

ZQ®

p(x)dx = ®:

¡1

Пример 6.4 Найдем ®-квантиль и медиану экспоненциального распределения. В этом случае Q® представляет собой решение уравнения

1 ¡ e¡¸Q® = ®:

Поэтому

Медиана экспоненциального распределения

M = ln¸2:

Пример 6.5 Пусть случайная величина X представляет собой число успехов в одном испытании по схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Тогда, как видно на рис. 6.1,

а q-квантилью является любое число от 0 до 1. Этот пример показывает, что, во-первых, квантили могут совпадать для разных ®, а, вовторых, для некоторых ® квантили могут определяться неоднозначно.

Рис. 6.1.

29