ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.02.2025
Просмотров: 548
Скачиваний: 1
Понятие о ранге матрицы
Минором данной матрицы А называется определитель, составленный из оставшихся элементов матрицы после вычёркивания из неё нескольких строк и столбцов.
Рассмотрим, например, матрицу
|
а |
а12 |
а13 |
а14 |
|
а21 |
а22 |
а23 |
а24 |
|
а31 |
а32 |
а33 |
а34 |
11
Миноры третьего порядка этой матрицы получаются после вычёркивания одного столбца и замены знака матрицы ( ) знаком определителя | |. Их четыре. Миноры второго порядка получаются после вычёркивания двух столбцов и одной строки, их 18. Миноров первого порядка 12.
Рангом матрицы А (rA) называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.
Можно определение ранга сформулировать и так:
рангом матрицы А (rA) называется наибольшее натуральное число, для которого существует не равный нулю определитель k – го порядка, порождаемый матрицей А.
Убедитесь, что, например, ранг матрицы
|
1 |
2 |
3 |
|
2 |
4 |
6 |
равен 1 (r = 1), а матрицы
|
1 |
-1 |
0 |
|
2 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
равен 2 (r = 2).
Рассмотрим основные методы вычисления ранга матрицы.
Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k – го порядка M, отличный от нуля. Рассмотрим те миноры (k + 1) – го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдётся ненулевой минор (k + 1) – го порядка и обсуждаемую процедуру придётся повторить.
Пример 3. (Маша Куприянова).
Найти ранг матрицы
|
2 |
5 |
4 |
20 |
|
1 |
3 |
2 |
11 |
|
2 |
10 |
9 |
40 |
|
1 |
8 |
7 |
31 |
Ф
иксируем
минор второго порядка, отличный от нуля:
|
M2 = |
9 |
40 |
≠ 0 |
|
|
7 |
31 |
|
Минор третьего порядка
|
|
3 |
2 |
11 |
|
|
M3 = |
10 |
9 |
40 |
, |
|
|
8 |
7 |
31 |
|
окаймляющий минор М3, также отличен от нуля:
|
M3 = |
3 |
9 |
40 |
-2 |
10 |
40 |
+11 |
10 |
9 |
= |
|
|
|
|
|
7 |
31 |
|
8 |
31 |
|
8 |
7 |
|
= -3 + 20 - 22 = -5
Однако минор 4-го порядка
|
|
2 |
5 |
4 |
20 |
|
M4 = |
1 |
3 |
2 |
11 |
|
|
2 |
10 |
9 |
40 |
|
|
1 |
8 |
7 |
31 |
равен нулю (убедимся сами, повторив ход мысли Маши):
|
|
2 |
11 |
10 |
42 |
|
11 |
10 |
42 |
|
|
M4 = |
1 |
5 |
5 |
20 |
= - |
5 |
5 |
20 |
= |
|
|
2 |
6 |
5 |
22 |
|
6 |
5 |
22 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
= |
- 11 |
5 |
20 |
-10 |
5 |
20 |
+42 |
5 |
5 |
= |
|
|
|
5 |
22 |
|
6 |
22 |
|
6 |
5 |
|
= - (110+110-210) = 0
С
ледовательно,
рангА
равен трём (rA
= 3).
Если rA = rB, то матрицы А и В называются эквивалентными. Пишут А~В.
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:
Замена строк столбцами, а столбцов – соответствующими строками;
Перестановка строк матрицы;
Вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю;
Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
Прибавление к элемента модной строки соответствующих элементов другой строки.
Метод элементарных преобразований основан на том факте, что они не меняют ранга матрицы. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к такому виду, когда все её элементы, кроме а11, а22, ... аrr (r <= min (m, n)), равны нулю. Следовательно ранг матрицы равен r.
Пример 4. Найти ранг матрицы
|
2 |
11 |
5 |
2 |
|
|
A = |
1 |
5 |
2 |
1 |
|
|
2 |
3 |
2 |
-3 |
|
|
-1 |
3 |
1 |
4 |