ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.02.2025
Просмотров: 549
Скачиваний: 1
Вспомним, что система называется совместной, если у неё существует, по крайней мере, одно решение, в противном случае она называется несовместной.
Теорема Кронекера - Капелли. Для совместности системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы равнялся рангу её расширенной матрицы: rA = rB. Если ранг матрицы А системы меньше ранга расширенной матрицы В, т.е. rA < rB, то данная система несовместна и решения не существует.
Предоставим, читатель, ещё раз слово Маше Куприяновой. Именно ей Вы обязаны знакомством с конспектом этих лекций, именно она совместно с Леной Гладковой взяла на себя нелёгкий труд, напечатав рукопись и отредактировав её. Повторите ход мыслей Маши при решении вопроса, является ли совместной система уравнений (пример 5)
|
6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 |
|
3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 3 |
|
3x1 + 2x2 – 2x3 + x4 = 7 |
|
9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2 |
Маша
выбрала комплексный подход к определению
рангов м
атрицыА
и расширенной матрицы В.
|
|
6 |
4 |
5 |
2 |
3 |
|
6 |
2 |
5 |
2 |
3 |
|
|
А = |
3 |
2 |
4 |
1 |
2 |
~ |
3 |
1 |
4 |
1 |
2 |
~ |
|
|
3 |
2 |
-2 |
1 |
0 |
|
3 |
1 |
-2 |
1 |
0 |
|
|
|
9 |
6 |
1 |
3 |
2 |
|
9 |
3 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
6 |
2 |
5 |
0 |
3 |
|
6 |
2 |
5 |
3 |
|
|
~ |
3 |
1 |
4 |
0 |
2 |
~ |
3 |
1 |
4 |
2 |
|
|
|
3 |
1 |
-2 |
0 |
0 |
|
3 |
1 |
-2 |
0 |
|
|
|
9 |
3 |
1 |
0 |
2 |
|
9 |
3 |
1 |
2 |
|
rA=3
Выписывая расширенную матрицу, отделим элементы матрицы системы (матрицы А) от свободных членов системы.
|
|
6 |
4 |
5 |
2 |
3 |
1 |
|
6 |
2 |
5 |
2 |
3 |
1 |
|
|
В = |
3 |
2 |
4 |
1 |
2 |
3 |
~ |
3 |
1 |
4 |
1 |
2 |
3 |
~ |
|
|
3 |
2 |
-2 |
1 |
0 |
-7 |
|
3 |
1 |
-2 |
1 |
0 |
-7 |
|
|
|
9 |
6 |
1 |
3 |
2 |
2 |
|
9 |
3 |
1 |
3 |
2 |
2 |
|
|
|
6 |
2 |
5 |
0 |
3 |
1 |
|
6 |
2 |
5 |
3 |
1 |
|
|
~ |
3 |
1 |
4 |
0 |
2 |
3 |
~ |
3 |
1 |
4 |
2 |
3 |
~ |
|
|
3 |
1 |
-2 |
0 |
0 |
-7 |
|
3 |
1 |
-2 |
0 |
-7 |
|
|
|
9 |
3 |
1 |
0 |
2 |
2 |
|
9 |
3 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
5 |
3 |
1 |
|
2 |
0 |
5 |
3 |
1 |
|
|
~ |
1 |
1 |
4 |
2 |
3 |
~ |
1 |
0 |
4 |
2 |
3 |
~ |
|
|
1 |
1 |
-2 |
0 |
-7 |
|
1 |
0 |
-2 |
0 |
-7 |
|
|
|
3 |
3 |
1 |
2 |
2 |
|
3 |
0 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
5 |
3 |
1 |
|
|
~ |
1 |
4 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
-2 |
0 |
7 |
|
|
|
3 |
1 |
2 |
2 |
|
rB
=
3
Так
как rA
= rB,
то система совместна.
Эту лекцию, как и вторую, закончим обсуждением решения системы линейных уравнений методом Гаусса. Практически удобнее подводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
Метод Гаусса особенно «пришёлся по душе» Маше Ларькиной (ТШ-062). Ей слово.
Решаем систему уравнений (Пример 6).
|
3x1 + 2x2 + 5x3 – x4 = 3 |
|
2x1 - 3x2 – 3x3 + 4x4 = 1 |
|
4x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 3 |
|
5x1 – 2x2 + x3 + 3x4 = 5 |
Выпишем матрицу:
|
3 |
2 |
5 |
-1 |
3 |
|
2 |
-3 |
-3 |
4 |
1 |
|
4 |
1 |
3 |
2 |
3 |
|
5 |
-2 |
1 |
3 |
5 |
2) Умножим элементы первой строки на 4, 2, 3 и прибавим соответственно к элементам второй, третьей и четвёртой строки. Получим:
|
3 |
2 |
5 |
-1 |
3 |
|
14 |
5 |
17 |
0 |
13 |
|
10 |
5 |
13 |
0 |
9 |
|
14 |
4 |
16 |
0 |
14 |
3) Вычтем вторую строку из четвёртой:
|
3 |
2 |
5 |
-1 |
3 |
|
14 |
5 |
17 |
0 |
13 |
|
10 |
5 |
13 |
0 |
9 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
-1 |
4) Умножим элементы второй строки на 10 и вычтем из соответствующих элементов третьей строки, умноженных на 14:
|
3 |
2 |
5 |
1 |
3 |
|
14 |
5 |
17 |
0 |
13 |
|
0 |
20 |
12 |
0 |
-4 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
-1 |
