ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.02.2025
Просмотров: 545
Скачиваний: 1
Слово опять ей, Лене Гладковой!
|
|
2 |
11 |
5 |
2 |
|
-1 |
3 |
1 |
4 |
|
A |
1 |
5 |
2 |
1 |
~ |
1 |
5 |
2 |
1 |
|
|
2 |
3 |
2 |
-3 |
|
2 |
11 |
5 |
2 |
|
|
-1 |
3 |
1 |
4 |
|
2 |
3 |
2 |
-3 |
=
Далее проводим следующие преобразования.
а. Элементы первой строки прибавим к соответствующим элементам второй строки;
b
.
Удвоенные элементы первой строки
прибавим к соответствующим элементам
третьей и четвёртой строк:
|
|
-1 |
3 |
1 |
4 |
|
A = |
0 |
8 |
3 |
5 |
|
|
0 |
17 |
7 |
10 |
|
|
0 |
9 |
4 |
5 |
2. а. Из элементов четвёртой строки вычтем соответствующие элементы второй строки;
b.
Из элементов третьей строки вычтем
соответствующие элементы второй строки,
умноженные на -2:
|
|
-1 |
3 |
1 |
4 |
|
A = |
0 |
8 |
3 |
5 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
3. Из элементо
четвёртой строки вычтем соответствующие
элементы третьей строки:
|
|
-1 |
3 |
1 |
4 |
|
A = |
0 |
8 |
3 |
5 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
4. Вычёркиваем четвёртую строку, так как все её элементы равны нулю:
|
-1 |
3 |
1 |
4 |
|
|
A = |
0 |
8 |
3 |
5 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
5. Из элементов первого столбца вычтем соответствующие элементы второго столбца:
|
|
-1 |
2 |
1 |
4 |
|
A = |
0 |
5 |
3 |
5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
6. Умножим элементы первой строки на -1 и прибавим к ней соответствующие элементы третьей строки:
|
|
-1 |
2 |
0 |
4 |
|
A = |
0 |
5 |
3 |
5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
7. Из элементов четвёртого столбца вычтем удвоенные элементы второго столбца:
|
|
1 |
-2 |
0 |
0 |
|
A = |
0 |
5 |
3 |
-5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
8. К элементам второго столбца прибавим удвоенные элементы первого столбца:
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
A = |
0 |
5 |
3 |
-5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
9. К элементам второго столбца прибавим соответствующие элементы четвертого столбца:
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
A = |
0 |
0 |
3 |
-5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
10. а. Вычёркиваем второй столбец, так как все его элементы равны нулю;
b. Делим элементы четвёртого столбца на -5:
|
|
1 |
0 |
0 |
|
A = |
0 |
3 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
11. Из элементов второй строки вычтем соответствующие элементы третьей строки:
|
|
1 |
0 |
0 |
|
A = |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
12. Переставляя строки матрицы А, получаем единичную матрицу.
|
|
1 |
0 |
0 |
|
E = |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
Р
анг
этой матрицы определяется числом единиц
на её главной диагонали и равен 3.
Следовательно, таков же и ранг исходной
матрицы:rA
= 3.
Понятие ранга матрицы широко используется в теории систем линейных уравнений.
Запишем ещё раз систему линейных уравнений, с которой я начинал изложение этой лекции.
|
а11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 |
|
|
|
|
а21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 |
|
|
( 1 ) |
|
а31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 |
|
|
|
Наряду с матрицей системы
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
|
A = |
а21 |
а22 |
а23 |
|
|
а31 |
а32 |
а33 |
Введём её расширенную матрицу
|
|
а11 |
а12 |
а13 |
b1 |
|
B = |
а21 |
а22 |
а23 |
b2 |
|
|
а31 |
а32 |
а33 |
b3 |