ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.02.2025
Просмотров: 680
Скачиваний: 1
Очевидно, при k = l такой интеграл представляет положительное число, обозначим его через d2k:
dk2 = Za |
b |
|
'k2(x) dx: |
(15) |
При выполнении (14) и (15) система (13) имеет вид
b |
|||||||
dl2cl |
= Za |
f(x)'l(x) dx; |
l = 1; 2; : : : n: |
||||
и имеет решением |
|||||||
1 |
b |
||||||
cl = |
Za |
f(x)'l(x) dx; |
l = 1; 2; : : : n: |
(16) |
|||
dl2 |
|||||||
После подстановки оптимальных значений коэффициентов ck в выражение для критерия (12) и выполнения алгебраических операций можно получить оптимальное значение критерия:
Emin = |
Za |
f2(x) dx ¡ k=1 dk2 |
µZa |
f(x)'k(x) dx¶ |
: |
|
b |
n |
b |
2 |
|||
X |
||||||
1 |
||||||
Поскольку среднеквадратичная ошибка не может быть отрицательной, из этого соотношения следует неравенство Бесселя:
k=1 dk2 |
µZa |
f(x)'k(x) dx¶ |
2 |
· Za |
f2 |
(x) dx |
(17) |
|
n |
b |
b |
||||||
X |
1 |
|||||||
Система ортогональных функций f'k(x)g называется полной, если для всех функций рассматриваемого класса ошибка Emin обращается в ноль, и неравенство Бесселя обращается в равенство, которое называется равенством Парсеваля
k=1 dk2 |
µZa |
f(x)'k(x) dx¶ |
= Za |
f2(x) dx |
(18) |
|
1 |
1 |
b |
2 |
b |
||
X |
||||||
Обычно, для выполнения равенства Парсеваля для практически интересного класса функций система ортогональных функций содержит бесконечное число членов, и разложение (11) является рядом.
В случае, когда 'k(x) – ортогональная система функций, выражения для коэффициентов ck можно получить другим, более простым способом.
18
Предположим, что существует разложение в ряд по системе ортогональных функций данной функции f(x):
1 |
|
Xk |
|
f(x) = ck'k(x): |
(20) |
=1 |
Домножая его на 'l(x), интегрируя, и учитывая условие ортогональности, получаем:
Za |
f(x)'l(x) dx = cl Za |
'l2 |
(x) dx = cldl2; |
b |
b |
откуда и получается формула (16).
Замечание Использование коэффициентов (16) ещ¸ не гарантирует выполнения равенства (20). Чтобы это равенство выполнялось, функция f(x) и система ортогональных функций f'k(x)g должны быть такими, чтобы выполнялось равенство Парсеваля (18). Но в любом случае использование для коэффициентов ck в равенстве
Xn
f(x) = ck'k(x) + R(x)
k=1
соотношений (16) гарантирует, что погрешность R(x) аппроксимации функции f(x) суммой Pnk=1 ck'k(x) минимальна по критерию интегральной ошибки.
Ряд Фурье получается из формул предыдущего раздела, если в качестве системы ортогональных функций на отрезке ¡l · x · l использовать функции
1; cos |
¼kx |
; sin |
¼kx |
; k = 1; 2; : : : |
|
l |
l |
||||
Доказано, что эта система полна на множествах используемых в обычных технических измерениях функций , например, непрерывных, или имеющих конечное число разрывов первого рода. Вообще, условием полноты этих функций или, что эквивалентно, сходимости ряда Фурье посвящено много работ, в которых доказывается сходимость для разных классов функций f(x). С позиции большинства инженерных приложений ряд Фурье можно считать хорошим инструментом приближения во всех случаях.
Ряд Фурье обычно записывается в виде |
||||||||
f(x) = |
a |
1 |
µak cos |
¼kx |
+ bk sin |
¼kx |
¶; |
(21) |
20 + k=1 |
l |
l |
||||||
X |
||||||||
где
1 |
l |
¼kx |
|||||||
ak = |
Z¡l f(x) cos |
dx; |
|||||||
l |
l |
||||||||
1 |
l |
¼kx |
(22) |
||||||
bk = |
Z¡l f(x) sin |
dx: |
|||||||
l |
l |
||||||||
k = 0; 1; 2; : : :
Ряд Фурье, как легко заметить, представляет периодическую функцию периода 2l Поэтому, он приближает функцию f(x) на интервале(¡l; l). Вне этого интервала значения функции f(x) и ряда , как правило, отличаются.
Существует и широко используется на практике очень полезная физическая интерпретация ряда Фурье: любая функция на интервале (¡l; l) представляется суммой гармонических (синусоидальных и косинусои-
дальных функций) различных, кратных частот ¼kl ; k = 0; 1; : : : .
Коэффициенты ak, bk задают спектр сигнала: амплитуды его частотных составляющих.
Если использовать математический аппарат комплексных чисел и функций комплексного переменного, многие выкладки существенно упрощаются. Этим обстоятельством объясняется использование комплексных чисел в механике, физике, электротехнике и других науках.
Часто удобнее использовать ряд Фурье в комплексной форме. На основании формулы Эйлера
eiz = cos z + i sin z
периодические составляющие ряда Фурье можно представить в виде:
a |
cos |
¼kx |
+ b |
sin |
¼kx |
= c |
ei k¼l |
x + c |
e¡i k¼l x; |
||||||||||
l |
¡k |
||||||||||||||||||
k |
l |
k |
k |
||||||||||||||||
где (считая b0 = 0): |
|||||||||||||||||||
c |
k |
= ak ¡ ibk ; c |
¡k |
= ak + ibk : |
|||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||
Подставляя в эти выражения формулы (22), для коэффициентов ak и bk, получаем:
1 |
l |
||||
ck = |
Z¡l f(x)ei |
k¼ |
x dx k = 0; §1; §2; : : : : |
(23) |
|
l |
|||||
2l |
20
Разложение функции f(x) в ряд Фурье принимает вид:
X |
ckei k¼l x: |
||||||
f(x) = |
1 |
(24) |
|||||
k=¡1 |
|||||||
k¼ |
|||||||
Функции |
ei |
x |
являются |
комплексными |
гармоническими |
||
l |
|||||||
функциями (см. формулу Эйлера). Коэффициенты ck образуют комплексный спектр функции f(x) (амплитуды комплексных гармонических
составляющих, |
образующих |
функцию |
f(x)). |
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Интеграл Фурье получается предельным переходом из ряда Фурье при стремлении интервала разложения функции f(x) на всю числовую ось.
Для строгого вывода надо проверить допустимость предельного перехода, при этом накладываются определ¸нные ограничения на функцию f(x).
Чтобы оттенить практическую сущность интеграла Фурье, провед¸м вывод нестрого. Нужно помнить, что необходимым условием является существование присутствующих в формулах несобственных интегралов.
Подставляя (23) в (24), получим: члены ряда Фурье можно представить в виде,
X |
l |
k¼ |
k¼ |
|||||||||
1 |
1 |
|||||||||||
f(x) = k=¡1 |
2l |
Z¡l f(»)ei |
l |
» d» ¢ ei |
l |
x = |
1 |
l |
k¼ |
k¼ ¼ |
||
1 |
||||||||||||
X |
Z¡l f(»)ei l » d» ¢ ei l x ¢ |
|||||||||||
= k=¡1 |
2¼ |
l |
: |
|||||||||
Вводя переменную !, дискретные значения которой !k, а приращения d!k = ¼ , выражение в правой части этой формулы можно трактовать как интегральнуюl сумму для интеграла
l |
1 |
l |
|
Z¡l · |
Z¡l f(»)e¡i!» d»¸ei!x dx: |
||
2¼ |
21