Файл: математика.pdf

решения системы дифференциальных уравнений 1-го порядка. Они позволяют рассчитывать частные решения: для нахождения решений, удовлетворяющих другим начальным условиям нужно повторять расч¸ты заново.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ И СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Часто, для упрощения расч¸тов делается замена переменных в дифференциальных уравнениях.

Вчастности, дифференциальное уравнение порядка n можно преобразовать в систему дифференциальных уравнений, вводя новые переменные, равные производным исходной переменной.

Вдифференциальном уравнении (2)

y(n) = f(x; y; : : : ; y(n¡1))

введ¸м новые переменные:

y1 = y0; y2 = y00;

...

yn¡1 = y(n¡1):

Тогда, по определению новых переменных:

y0n¡1 = f(x; y; y1; : : : ; yn¡1):

Система (6) есть система n дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных y; y1; : : : ; yn¡1, эквивалентных одному уравнению (2) порядка n.

Разобранная замена переменных представляет одну из возможных замен дифференциального уравнения высокого порядка системой дифференциальных уравнений. Можно придумать и другие.

Теоретически, систему дифференциальных уравнений можно эквивалентно заменить одним дифференциальным уравнением порядка n.

Для этого надо систему (4) трактовать как n алгебраических соотношений относительно неизвестных y1; y2; : : : ; yn и их производных.Процесс

28

сведения системы к одному уравнению заключается в получении явных выражений для переменных и производных из n ¡ 1 уравнений системы

(4) и подстановки их в оставшееся уравнение.

На практике, такой процесс часто затрудн¸н невозможностью получить явное алгебраическое выражение для отдельных переменных из уравнений системы, хотя теоретически эти переменные являются функциями остальных переменных.

Из изложенного следует важный вывод: одно дифференциальное уравнение порядка n теоретически эквивалентно системе n дифференциальных уравнений 1-го порядка или, например n=2 дифференциальных уравнений 2-го порядка (если n делится на 2) и так далее.

Общие решения дифференциального уравнения порядка n и системы n дифференциальных уравнений 1-го порядка зависят от n произвольных постоянных.

Рассмотрим классы и способы решения дифференциальных уравнений, которые можно решить аналитически. Начн¸м с дифференциальных уравнений 1-го порядка.

УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Дифференциальное уравнение первого порядка y0 = f(x; y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция f(x; y) представляет произведение функций, зависящих только от одной пере-

менной x и y: f(x; y) = f1(x) ¢ f2(y). Дифференциальное уравнение

решается следующим образом. Слева в равенстве стоит отношение дифференциалов, а справа – произведение функций, каждая из которых зависит от одной переменной. Очевидными алгебраическими преобразованиями это выражение приводится к виду, в котором слева будут члены, зависящие только от y, а справа – от x:

dy

f2(y) = f1(x) dx:

Полученное соотношение представляет условие равенства двух дифференциалов.

Если дифференциалы равны, то интегралы от дифференциалов отличаются на произвольную постоянную:

29

Это соотношение, при вычисленных интегралах, представляет первый интеграл уравнения (7).

Пример 11.Решим уравнение:

dxdy = xy :

Преобразуя его, получаем:

dyy = dxx :

Интегрируя это соотношение, получаем:

ln jyj = ln jxj + ln C:

Здесь для удобства последующих преобразований произвольная постоянная представлена в виде логарифма от произвольной постоянной.

Потенцируя полученное соотношение, получаем, что общее решение уравнения представляет множество прямых, проходящих через начало координат:

y = Cx:

Обратите внимание: решение, проходящее через начало координат не единственно. Объясняется это тем, что при x=0 условия теоремы существования и единственности (непрерывность и дифференцируемость правой части уравнения) не выполняются.

Замечание При выполнении алгебраических операций с дифференциальными уравнениями надо учитывать особенности операций с уравнениями. В частности, при делении уравнения на выражение, зависящее от переменных x и y можно потерять отдельные решения, соответствующие ситуации, когда делитель обращается в нуль.

Пример 12.Решим уравнение

30

откуда вычисляя интегралы в левой и правой части, получаем первый интеграл, который не уда¸тся разрешить относительно y:

y + ln jy ¡ 1j = ln jxj + ln C:

Потенцируя, это выражение можно упростить:

eyjy ¡ 1j = Cjxj:

В этом выражении отсутствует одно решение y=1, которое было потеряно при делении исходного дифференциального уравнения на (y¡1) для получения равенства с разделенными переменными.

31

ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 1-го ПОРЯДКА

В общем случае линейное дифференциальное уравнение первого по-

где P (x) и Q(x) – произвольные заданные функции независимого аргумента x.

Линейное уравнение содержит члены, в которые неизвестная функция y и е¸ производная входят только в первой степени, и члены, не зависящие от y. Если член, не зависящий от y в уравнении отсутствует, Q(x)=0, линейное уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (8) представляет уравнение с разделяющимися переменными:

dxdy = P (x)y:

Решая его записанным выше способом, получаем общее решение линейного однородного уравнения:

y = CeR P (x) dx:

Для решения неоднородного уравнения (8) применим метод, который называется методом вариации произвольной постоянной. А именно, предположим, что общее решение неоднородного уравнения имеет ту же структуру, что и решение однородного, с тем отличием, что вместо произвольной постоянной в н¸м участвует функция C(x):

y = C(x)eR P (x) dx:

Неизвестную функцию C(x) найд¸м, подставляя это выражение в уравнение (8). В результате подстановки получаем:

R R R

C0(x)e P (x) dx + C(x)e P (x) dxP (x) = P (x)e P (x) dxC(x) + Q(x);

или, после сокращения одинаковых членов в левой и правой частях:

R

C0(x)e P (x) dx = Q(x);

откуда C0(x) = Q(x)e¡ R P (x) dx:

32