ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.02.2025
Просмотров: 545
Скачиваний: 2
18
5)уравнение прямой AD;
6) уравнение плоскости ABC;
7)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
8)точку K - проекцию точки D на грань ABC;
9)точку P - проекцию точки D на ребро AB.
Напомним некоторые сведения об уравнениях прямой и
плоскости в пространстве. |
|||
1. Уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через точку |
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно вектору |
N ={A;B;C} |
||
имеет вид A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 . |
|||
2.Уравнение |
вида |
Ax+By+Cz+D=0 |
(линейное |
относительно координат x y z) определяет в пространстве плоскость и вектор N ={A;B;C} (называемый нормальным вектором плоскости ) перпендикулярен этой плоскости.
3. Расстояние |
d от точки |
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости, |
|
заданной |
уравнением |
Ax+By+Cz+D=0 |
равно |
d = Ax0 + By0 + Cz0 + D .
A2 + B2 + C2
4.Уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ) параллельно вектору a ={l;m;n} (называемый направляющим вектором) может быть записано в одном из двух видов:
канонический x −l x0 = y −my0 = z −nz0 ;
x = x0 + lt,
параметрический y = y0 + mt, где t (−∞;+∞)
z = z0 + nt.
Решение.
Косинус угла ϕ между ребрами AB и AC - это косинус
→ |
→ |
|||||||||||||||||||
угла между векторами AB и |
AC . |
|||||||||||||||||||
→ |
→ |
|||||||||||||||||||
→ |
→ |
AB AC |
||||||||||||||||||
Имеем |
AB ={-12;2;-4}, |
AC ={-4;2;3}. |
cosϕ= |
, |
||||||||||||||||
→ |
→ |
|||||||||||||||||||
AB |
AC |
|||||||||||||||||||
→ → |
+ 2 2 + (−4) 3 = 40 , |
|||||||||||||||||||
AB AC = (−4)(−12) |
||||||||||||||||||||
→ |
= |
144 + 4 +16 = |
164 , |
|||||||||||||||||
AB |
||||||||||||||||||||
→ |
= |
16 + 4 + 9 = |
29 |
|||||||||||||||||
AC |
||||||||||||||||||||
19
→ |
→ |
iG |
Gj |
|||
= |
−12 |
2 |
||||
AB× AC |
||||||
− 4 |
2 |
|||||
k |
= iG |
2 |
− 4 |
− Gj |
−12 |
|||
− 4 |
||||||||
2 |
3 |
− 4 |
||||||
3 |
||||||||
Тогда cosϕ= |
40 |
. |
164 29 |
Площадь грани ABC - это площадь треугольника АВС, которая равна
S ABC = |
1 |
→ |
→ |
. |
||||
AB× AC |
||||||||
2 |
||||||||
− 4 |
G |
−12 |
2 |
= {14;52;-16} |
|||
3 |
+ k |
− 4 |
2 |
S ABC |
= |
1 |
196 + 2704 + 256 = |
1 |
3156 = |
789 . |
||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
|||||||||||||||||||||||
Проекция вектора |
на |
вычисляется |
по |
формуле |
||||||||||||||||||||
AB |
AD |
|||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
|||||||||||||||||||||||
→ |
AB AD |
→ |
→ |
|||||||||||||||||||||
пр → |
AB |
= |
. Так как |
AD ={-3;4;-3}, то |
AD |
= 9 |
+16 |
+ 9 |
= 34 , |
|||||||||||||||
→ |
||||||||||||||||||||||||
AD |
AD |
|||||||||||||||||||||||
→→
( AB AD )=(-12)(-3)+2 4+(-4)(-3)=56.
Следовательно пр → |
AB = 56 . |
||||||||||
→ |
|||||||||||
AD |
34 |
||||||||||
1 |
Объем |
пирамиды |
VABCD вычисляется по формуле |
||||||||
→ → |
→ |
. Используя формулу вычисления смешанного |
|||||||||
VABCD = |
AB AC AD |
||||||||||
6 |
|||||||||||
произведения, получаем
→ → |
→ |
−12 |
|||
= |
− 4 |
||||
AB AC AD |
|||||
− 3 |
|||||
2 |
− 4 |
= −12 |
2 |
3 |
− 2 |
− 4 3 |
− 4 |
− 4 2 |
= |
||||||
2 |
3 |
||||||||||||||
4 |
− 3 |
− 3 − 3 |
− 3 4 |
||||||||||||
4 |
− 3 |
||||||||||||||
= −12(−18) − 2(21) − 4(−10) = 214
214 107
Следовательно VABCD = 6 = 3 .
С точки зрения понятий аналитической геометрии уравнение прямой AD - это уравнение прямой проходящей через
точку A(10;6;6) параллельно вектору |
→ |
В каноническом |
||||||
AD ={-3;4;-3}. |
||||||||
виде уравнение данной прямой имеет вид |
x −10 |
= |
y − 6 |
= |
z − 6 |
, |
||
− 3 |
− 3 |
|||||||
4 |
||||||||
20
x = 10 − 3t,
в параметрическом y = 6 + 4t, .
z = 6 − 3t.
Для построения уравнения плоскости АВС воспользуемся следующими соображениями. (Отметим, что в учебниках имеется готовая формула уравнения плоскости, проходящей через три точки, однако мы не будем ее использовать.) Для построения уравнения плоскости необходимо знать точку и вектор, перпендикулярный этой плоскости. Даны координаты трех точек плоскости. Для построения перпендикулярного вектора воспользуемся свойством векторного произведения - векторное произведение векторов перпендикулярно каждому из векторов. Следовательно, если мы имеем два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, то их векторное произведение будет перпендикулярно этой плоскости. Следовательно, перпендикулярный плоскости вектор N может быть
→ |
→ |
||
представлен в виде N = AB× AC . |
|||
Данное |
векторное произведение вычислено |
ранее. Имеем |
|
N ={14;52;-16}. |
|||
Тогда уравнение плоскости имеет вид |
|||
14(x-10)+52(y-6)-16(z-6)=0 или 7x+26y-8z-178=0. |
|||
Для того, чтобы найти уравнение высоты, |
опущенной из |
||
вершины |
D(7;10;3) на грань ABC , будем иметь в виду следующее. |
||
Высота |
- это прямая линия, а для определения уравнения прямой |
||
необходимо знать точку и направляющий вектор. Координаты точки D нам известны. Но поскольку прямая перпендикулярна плоскости АВС, то она параллельна вектору N ={14;52;-16}, перпендикулярному данной плоскости. (Координаты данного вектора были найдены при решении предыдущей задачи.)
Зная координаты |
точки D(7;10;3) и координаты вектора |
N ={14;52;-16} получаем |
следующее параметрическое уравнение |
искомой прямой. |
|
x = 7 +14t, |
|
y = 10 +52t, |
|
z = 3 −16t. |
При определении длины высоты (обозначим ее d), проведенной из вершины D(7;10;3) заметим, что длина высоты равна расстоянию от точки D до плоскости АВС. (Уравнение данной
21
плоскости найдено ранее и имеет вид 7x+26y-8z-178=0.) Используя формулу расстояния от точки до плоскости, получаем
d = |
7 7 + 26 10 −8 3 −178 |
= |
107 |
. |
||||
72 + 262 + (−8)2 |
789 |
|||||||
(Отметим, что в одной из предыдущих задач длина высоты пирамиды была найдена другим способом.)
Определим точку K - проекцию точки D на грань ABC. Точка К - это точка пересечения высоты и плоскости АВС. (Их уравнения найдены ранее.) Тогда для определения координат точки К имеем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными
7x + 26y −8z −178 = 0,
x = 7 +14t,
y = 10 +52t,
z = 3 −16t.
Подставляя последние три соотношения в первое, получаем уравнение для определения значения параметра t, соответствующего точке пересечения.
7(7+14t)+26(10+52t)-8(3-16t)-178=0, 1578t+107=0, t = −1578107 .
Подставляя t в последние три соотношения системы, находим
координаты точки K. |
107 |
4774 |
; |
|||||||||||||||||||
x = 7 +14 |
− |
= |
||||||||||||||||||||
789 |
||||||||||||||||||||||
1578 |
||||||||||||||||||||||
107 |
5108 |
; |
107 |
3223 |
. |
|||||||||||||||||
y = 10 +52 |
− |
= |
z = 3 −16 |
− |
= |
|||||||||||||||||
789 |
789 |
|||||||||||||||||||||
1578 |
1578 |
|||||||||||||||||||||
Ответ: |
4774 |
5108 |
3223 |
|||||||||||||||||||
K |
; |
; |
. |
|||||||||||||||||||
789 |
789 |
789 |
||||||||||||||||||||
Точка P - проекция точки D на ребро AB является точкой пересечения прямой АВ и плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой АВ. Тогда нормальный вектор этой
→
плоскости N = AB ={-12;2;-4}. Уравнение плоскости имеет вид
-12(x-7)+2(y-10)-4(z-3)=0 или 6x-y+2z-38=0. Для прямой АВ имеем
x = 10 −12t;
следующее параметрическое уравнение y = 6 + 2t; .
z = 6 − 4t.
Определим точку пересечения прямой АВ и плоскости.
6x - y + 2z - 38 = 0;
x = 10 −12t;
y = 6 + 2t;z = 6 − 4t.